[论文解读] The Metric Space of Networks

Samir Chowdhury, Facundo Mémoli|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文通过将图同构放松为“弱同构”（weak isomorphism），提出了一种用于加权有向网络的新度量空间框架，并定义了一个与之兼容的距离函数。证明了当且仅当两个网络的所有基序集合完全相同时，它们是弱同构的，从而实现了从全局到局部的重构，并将弱同构与网络骨架的强同构联系起来。

ABSTRACT

We study the question of reconstructing a weighted, directed network up to isomorphism from its motifs. In order to tackle this question we first relax the usual (strong) notion of graph isomorphism to obtain a relaxation that we call weak isomorphism. Then we identify a definition of distance on the space of all networks that is compatible with weak isomorphism. This global approach comes equipped with notions such as completeness, compactness, curves, and geodesics, which we explore throughout this paper. Furthermore, it admits global-to-local inference in the following sense: we prove that two networks are weakly isomorphic if and only if all their motif sets are identical, thus answering the network reconstruction question. Further exploiting the additional structure imposed by our network distance, we prove that two networks are weakly isomorphic if and only if certain essential associated structures---the skeleta of the respective networks---are strongly isomorphic.

研究动机与目标

• 为解决从局部子结构（基序）出发，重构加权有向网络至同构性的基本问题。
• 将标准（强）图同构放松为一种更灵活的观念——弱同构，使其在基于基序的比较下保持结构等价性。
• 在网络空间上定义一个与弱同构兼容的全局距离函数，支持网络结构的几何分析。
• 建立从局部基序数据推断全局网络性质的条件，支持从全局到局部的推理。
• 证明弱同构等价于网络骨架的强同构，将全局结构与一个最小化、本质化的表示形式联系起来。

提出的方法

• 引入‘弱同构’作为强同构的松弛形式，即当两个网络在所有基序大小和类型下具有相同的基序集合时，即视为等价。
• 在网络空间上定义一个尊重弱同构的距离函数，支持诸如完备性、紧致性、曲线和测地线等拓扑与几何分析。
• 构建网络的‘骨架’作为最小化、本质化的表示形式，其在弱同构下保持结构不变量。
• 将基序集合用作完全不变量：两个网络弱同构当且仅当其基序集合完全相同。
• 证明弱同构等价于各自骨架的强同构，从而实现向更简单、规范形式的约化。
• 在该网络空间中应用度量几何工具（如曲线与测地线），以分析结构转换与关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从基序集合出发，重构一个加权有向网络至同构性？
• RQ2 何种图同构的松弛形式能保持来自局部子图的结构信息？
• RQ3 如何在网络空间上定义一个与该松弛同构兼容的全局距离函数？
• RQ4 弱同构与网络骨架同构之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过一致的几何框架，从局部基序数据推断全局网络性质？

主要发现

• 两个加权有向网络弱同构当且仅当它们的所有基序集合完全相同，从而为网络重构问题提供了完整解决方案。
• 所提出的网络空间距离函数与弱同构兼容，并支持完备性、紧致性、曲线和测地线等高级几何概念。
• 弱同构等价于各自网络骨架的强同构，表明骨架捕获了所有本质的结构信息。
• 该框架支持从全局到局部的推理：全局网络等价性由局部基序数据决定。
• 度量空间结构使得可使用几何工具分析网络族，促进对网络演化与分类的研究。
• 研究结果为基于基序组成与骨架结构对复杂网络进行严格比较与分类奠定了坚实基础。