[论文解读] The Milnor-Witt motivic ring spectrum and its associated theories

Frédéric Déglise, Jean Fasel|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 18

一句话总结

本文在完美域上构造了米尔诺-惠特尼动机环谱，实现了对奇异概形上四种扭曲上同调理论——动机上同调、博雷尔-莫尔同调、具有紧支集的上同调以及同调——的统一形式化。通过自然的谱映射，建立了这些理论到经典动机理论的函子性映射，将弗沃多斯基的框架扩展至由虚拟向量丛推广的非定向上同调理论。

ABSTRACT

We build a ring spectrum representing Milnor-Witt motivic cohomology, as well as its étale local version and show how to deduce out of it three other theories: Borel-Moore homology, cohomology with compact support and homology. These theories, as well as the usual cohomology, are defined for singular schemes and satisfy the properties of their motivic analog (and more), up to considering more general twists. In fact, the whole formalism of these four theories can be functorially attached to any ring spectrum, giving finally maps between the Milnor-Witt motivic ones to the classical motivic ones.

研究动机与目标

• 构造一个代表奇异概形上米尔诺-惠特尼动机上同调的环谱。
• 利用米尔诺-惠特尼动机环谱和虚拟向量丛的广义扭曲，定义四种相关理论——上同调、博雷尔-莫尔同调、具有紧支集的上同调以及同调。
• 在六 functor 形式化框架下，建立这些理论的函子性、对偶性和下降性质。
• 构造米尔诺-惠特尼理论到经典动机上同调与同调的自然谱映射，且与乘积和函子性相容。
• 通过引入任意虚拟丛的陈类空间，将经典动机形式化推广至非定向上同调理论。

提出的方法

• 在完美域 $k$ 上的 $\mathbb{A}^1$-导出范畴中，将米尔诺-惠特尼动机环谱 $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R$ 构造为交换幺半群。
• 利用六 functor 形式化（拉回、推前、扭曲）从环谱定义四种相关理论，系数取任意环 $R$。
• 应用对偶定理，通过切丛扭曲将博雷尔-莫尔同调与上同调关联，推广经典对偶同构。
• 建立谱映射 $\psi: \mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}R \to \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R \to \mathbf{H}_{\mathrm{M}}R$，诱导相关上同调与同调理论之间的自然变换。
• 通过 $\mathbb{A}^1$-导出范畴中的导出 Hom 计算博雷尔-莫尔同调，使用扭曲的对偶对象 $f^!(\mathbf{H}_{\mathrm{M}}R) \otimes \mathrm{Th}(-v)$。
• 依赖于 cdh 拓扑和带转移的层理论，在适当条件下将博雷尔-莫尔同调识别为与 $R$ 张量的 Chow-Witt 群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个动机环谱，以代表奇异概形上的米尔诺-惠特尼动机上同调？
• RQ2 能否将四种标准动机理论（上同调、博雷尔-莫尔同调、具有紧支集的上同调、同调）函子性地推广至具有广义扭曲的非定向上同调理论？
• RQ3 米尔诺-惠特尼动机理论与经典动机上同调和同调之间存在何种关系？它们通过何种自然映射相互关联？
• RQ4 在虚拟向量丛的广义扭曲背景下，对偶性和吉辛映射如何表现？
• RQ5 六 functor 形式化在多大程度上可用于统一经典动机设定之外的上同调理论？

主要发现

• 米尔诺-惠特尼动机环谱 $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R$ 作为 $\mathrm{D}_{\mathbb{A}^1}(k,R)$ 中的交换幺半群被构造出来，代表任意 $k$-概形上的米尔诺-惠特尼动机上同调。
• 对于光滑 $k$-概形 $X$ 及整数 $(n,m)$，存在自然同构 $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{n}(X,m,R) \simeq \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{n+2m,m}(X,R)$，将扭曲上同调与 $\widetilde{\mathrm{DM}}(k,R)$ 中的标准动机上同调联系起来。
• 当 $k$ 为无限域时，米尔诺-惠特尼动机上同调在扭 $m$ 且度数 $n=0$ 时，与 Chow-Witt 群相等：$\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{0}(X,m,\mathbb{Z}) \simeq \widetilde{\mathrm{CH}}^m(X)$。
• 在 $R$ 是满足 (3.2.3.a) 的 $\mathbb{Z}$ 的局部化条件下，博雷尔-莫尔动机同调可计算为 $\mathbf{H}^{\mathrm{M},\mathrm{BM}}_{n}(X,v,R) \simeq \mathrm{CH}_m(X,n) \otimes_{\mathbb{Z}} R$。
• 映射 $\varphi_*: \mathbf{H}^{\mathrm{MW},\mathrm{BM}}_n(X,v,R) \to \mathrm{CH}_m(X,n) \otimes_{\mathbb{Z}} R$ 与反变与协变函子性以及局部化长正合列相容。
• 对偶定理通过切丛扭曲将博雷尔-莫尔同调与上同调关联：$\mathbf{H}^{\mathrm{MW},\mathrm{BM}}_n(X,T_X - m,R) \simeq \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{2m-n,m}(X,R)$。