[论文解读] The Minimal Total Irregularity of Graphs

Yingxue Zhu, Lihua You+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Graph theory and applications参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文研究了具有 $n$ 個頂點的連通圖的最小總不規則性，專注於樹、單環圖和雙環圖。利用一種新型的分支轉換技術，證明了在度序列為 $(3,3,2,\ldots,2)$ 的圖中，最小總不規則性為 $2n-4$，並在特定度序列下確立第二和第三小的值分別為 $2n-2$ 和 $4n-10$。

ABSTRACT

In \cite{2012a}, Abdo and Dimitov defined the total irregularity of a graph $G=(V,E)$ as \hskip3.3cm $ m irr_{t}$$(G) = \frac{1}{2}\sum_{u,v\in V}|d_{G}(u)-d_{G}(v)|, $ oindent where $d_{G}(u)$ denotes the vertex degree of a vertex $u\in V$. In this paper, we investigate the minimal total irregularity of the connected graphs, determine the minimal, the second minimal, the third minimal total irregularity of trees, unicyclic graphs, bicyclic graphs on $n$ vertices, and propose an open problem for further research.

研究动机与目标

• 確定具有 $n$ 個頂點的連通圖的最小、第二小和第三小總不規則性值。
• 描述在樹、單環圖和雙環圖中實現這些最小不規則性值的特定度序列。
• 引入並應用分支轉換技術，系統性地降低總不規則性，並識別極值圖形。
• 提出關於非正則連通圖總不規則性下界的猜測。

提出的方法

• 引入一種分支轉換技術，將懸掛子樹從高degree頂點移至葉子頂點，以降低總不規則性。
• 以總不規則性公式 $\rm irr_t(G) = \frac{1}{2} \sum_{u,v \in V} |d_G(u) - d_G(v)|$ 作為圖不規則性的主要度量。
• 透過迭代應用該轉換，證明 $\rm irr_t(G)$ 嚴格遞減，從而透過結構簡化實現最小化。
• 基於度數 $\geq 3$ 的頂點數量與葉子頂點數量，進行度序列分析與分情況枚舉。
• 依賴引理2，該引理證明分支轉換始終降低總不規則性，從而確立極值結構。
• 透過分析 $k$-環圖的度數總和 $\sum d_G(v) = 2(n+k)$（其中 $k=1$ 為單環圖，$k=2$ 為雙環圖）來推導總不規則性的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有具有 $n$ 個頂點的連通圖中，最小總不規則性是多少？
• RQ2 哪些度序列在樹、單環圖和雙環圖中實現了最小、第二小和第三小的總不規則性？
• RQ3 分支轉換技術如何系統性地降低總不規則性並識別極值圖形？
• RQ4 非正則連通圖的最小總不規則性是否可被下界 $2n-4$ 所限制？

主要发现

• 具有 $n$ 個頂點的連通圖的最小總不規則性為 $2n-4$，且僅由度序列為 $(3,3,2,\ldots,2)$ 的圖實現。
• 第二小的總不規則性為 $2n-2$，由度序列為 $(4,2,\ldots,2)$ 的圖實現。
• 第三小的總不規則性為 $4n-10$，由度序列為 $(3,3,3,2,\ldots,2,1)$ 的圖實現。
• 分支轉換技術證明，任何不規則性更高的圖都可轉換為總不規則性嚴格更低的圖，從而確認其極值性。
• 對於雙環圖，當 $n \geq 7$ 時，最小總不規則性為 $2n-4$，且當 $n \geq 7$ 時第二小的值為 $4n-10$。
• 結果支持猜測：對於所有具有 $n$ 個頂點的非正則連通圖，有 $\rm irr_t(G) \geq 2n-4$。