[论文解读] The Mirkovic-Vilonen basis and Duistermaat-Heckman measures

Pierre Baumann, Joel Kamnitzer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 71被引用 10

一句话总结

本文证明了半单群 $G$ 的 unipotent 子群 $N$ 的坐标环 $\mathbb{C}[N]$ 的 Mirković–Vilonen (MV) 基础是双完美（biperfect）的，即与 Chevalley 生成元的作用相容。通过仿射和 Beilinson–Drinfeld Grassmannian 中的几何 Satake 对应与交集理论，作者证明了在低秩情形下 MV 基础与 Lusztig 的对偶半可约基础一致，但在 $SL_6$ 中不同，从而通过 Duistermaat–Heckman 测度和预投射代数模解决了长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

Using the geometric Satake correspondence, the Mirkovic-Vilonen cycles in the affine Grasssmannian give bases for representations of a semisimple group G . We prove that these bases are "perfect", i.e. compatible with the action of the Chevelley generators of the positive half of the Lie algebra g. We compute this action in terms of intersection multiplicities in the affine Grassmannian. We prove that these bases stitch together to a basis for the algebra C[N] of regular functions on the unipotent subgroup. We compute the multiplication in this MV basis using intersection multiplicities in the Beilinson-Drinfeld Grassmannian, thus proving a conjecture of Anderson. In the third part of the paper, we define a map from C[N] to a convolution algebra of measures on the dual of the Cartan subalgebra of g. We characterize this map using the universal centralizer space of G. We prove that the measure associated to an MV basis element equals the Duistermaat-Heckman measure of the corresponding MV cycle. This leads to a proof of a conjecture of Muthiah. Finally, we use the map to measures to compare the MV basis and Lusztig's dual semicanonical basis. We formulate conjectures relating the algebraic invariants of preprojective algebra modules (which underlie the dual semicanonical basis) and geometric invariants of MV cycles. In the appendix, we use these ideas to prove that the MV basis and the dual semicanonical basis do not coincide in SL_6.

研究动机与目标

• 证明 Mirković–Vilonen (MV) 基础对于 $\mathbb{C}[N]$ 是双完美的，即与 Chevalley 生成元 $e_i$ 的左和右作用相容。
• 通过 Beilinson–Drinfeld Grassmannian 中的交集重数，建立 MV 基础乘法的几何描述，证实 Anderson 的一个猜想。
• 定义从 $\mathbb{C}[N]$ 到 Cartan 子代数对偶上的测度的映射，并证明 MV 基础元素的像等于其 Duistermaat–Heckman 测度。
• 通过测度和几何不变量比较 MV 基础与 Lusztig 的对偶半可约基础，并证明它们在 $SL_6$ 中不重合。
• 提出关于预投射代数模的代数不变量与 MV 循环的几何不变量之间关系的猜想。

提出的方法

• 使用几何 Satake 对应，通过仿射 Grassmannian 中的 MV 循环构造 $\mathbb{C}[N]$ 的基。
• 通过仿射 Grassmannian 中的交集重数计算 Chevalley 生成元对 MV 基础的作用。
• 通过 Beilinson–Drinfeld Grassmannian 中的交集理论描述 MV 基础中的乘法，证实 Anderson 的猜想。
• 通过 $G$ 的通用中心化器空间构造从 $\mathbb{C}[N]$ 到对偶 Cartan 子代数上测度的卷积代数的映射。
• 证明 MV 循环的 Duistermaat–Heckman 测度等于其对应 MV 基础元素的测度，从而证明 Muthiah 的一个猜想。
• 通过比较来自 MV 循环的测度与来自 $\Lambda$-模（预投射代数表示）的测度，证明在 $SL_6$ 中 MV 基础与对偶半可约基础不重合。

实验结果

研究问题

• RQ1 MV 基础是否双完美，即是否与 $\mathbb{C}[N]$ 上 Chevalley 生成元 $e_i$ 的作用相容？
• RQ2 如 Anderson 所猜想，MV 基础中的乘法规则是否由 Beilinson–Drinfeld Grassmannian 中的交集重数所决定？
• RQ3 与 MV 基础元素相关的测度是否等于其对应 MV 循环的 Duistermaat–Heckman 测度？
• RQ4 在 $SL_6$ 中，MV 基础与 Lusztig 的对偶半可约基础是否重合？
• RQ5 预投射代数模的代数不变量能否与 MV 循环的几何不变量相关联？

主要发现

• 证明了 $\mathbb{C}[N]$ 的 MV 基础是双完美的，且 $e_i$ 的作用通过仿射 Grassmannian 中的交集重数计算得出。
• 证实了 MV 基础中的乘法规则由 Beilinson–Drinfeld Grassmannian 中的交集重数决定，从而证明了 Anderson 的猜想。
• 与 MV 基础元素相关的测度等于其对应 MV 循环的 Duistermaat–Heckman 测度，从而证明了 Muthiah 的一个猜想。
• 在 $SL_6$ 中，MV 基础与对偶半可约基础被证明是不同的，其证据来自不同的多重次数：$\overline{D}(b_Z) = \overline{D}(\xi_{M_{a}\oplus M_{a'}}) - 2\overline{D}(\xi_{I(\omega_2+\omega_4)})$。
• 对于 $\tau = \young(1133,2255,44,66)$ 的 MV 循环 $Z_{\tau}$，证明其存在由 24 个变量中的素理想定义的一般化轨道子簇，从而支持多重次数的计算。
• 通过计算机辅助描述其定义理想，计算了 MV 循环 $Z_{\tau}$ 的多重次数，从而确认了在 $SL_6$ 中 MV 基础与对偶半可约基础不相等。