[论文解读] The new $ u$-metric induces the classical gap topology

Amol Sasane|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文证明了在由不含奇异非原子部分的复Borel测度的拉普拉斯变换构成的环 𝒜₊ 上，针对不稳定单输入单输出（SISO）对象新定义的 ν-度量，与经典的间隙度量诱导相同的拓扑结构。关键结果表明，ν-度量与间隙度量在可稳定化系统集合 𝕊(𝒜₊) 上拓扑等价，将Vinnicombe的经典结果从有理函数推广至无限维系统。

ABSTRACT

Let $\\calA_+$ denote the set of Laplace transforms of complex Borel measures $\\mu$ on $[0,+\\infty)$ such that $\\mu$ does not have a singular non-atomic part. In \\cite{BalSas}, an extension of the classical $\ u$-metric of Vinnicombe was given, which allowed one to address robust stabilization problems for unstable plants over $\\calA_+$. In this article, we show that this new $\ u$-metric gives a topology on unstable plants which coincides with the classical gap topology for unstable plants over $\\calA_+$ with a single input and a single output.

研究动机与目标

• 确定在 𝒜₊ 上针对不稳定系统的新型 ν-度量是否诱导与经典间隙度量相同的拓扑结构。
• 将Vinnicombe的经典结果——最初仅适用于有理函数——推广至由复Borel测度的拉普拉斯变换描述的无限维系统。
• 在 𝕊(𝒜₊) 中单输入单输出不稳定系统的空间上，建立 ν-度量与间隙度量之间的拓扑等价性。
• 识别阻碍该结果推广至多输入多输出（MIMO）系统的若干技术障碍。
• 提供 ν-度量的替代表达式，以互质因子分解形式表示，类似于Georgiou对间隙度量的公式。

提出的方法

• 在巴拿赫代数框架下，利用互质因子分解和矩阵差的上确界范数，在 𝕊(𝒜₊) 上定义 ν-度量。
• 通过在 𝒜 中具有零绕数的可逆元上取下确界，推导出 ν-度量的替代表达式（命题3.6）。
• 通过植物图上的投影定义 𝕊(𝒜₊) 上的间隙度量，并利用涉及托普利茨算子和绕数的替代表达式（命题4.9）。
• 建立双向不等式：d₉(p₁,p₂) ≤ dₙu(p₁,p₂) ≤ d₉(p₁,p₂)/μ_opt(p₁)，其中 μ_opt(p₁) 是所有稳定控制器 c 的 μₚ₁,𝒸 的上确界。
• 利用 𝒜 中可逆元的性质及绕数 W(q) = (0,0)，将 ν-度量中的下确界限制在稳定可逆元上。
• 利用 ‖K₀‖ ≤ 1 以及 μₚ₁,𝒸 与托普利茨算子逆之间的关系，将间隙度量用 ν-度量进行有界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 𝕊(𝒜₊) 上，新型 ν-度量是否诱导与经典间隙度量相同的拓扑结构？
• RQ2 在有理函数情形下已知的 ν-度量与间隙度量之间的拓扑等价性，能否推广至 𝒜₊ 上的无限维系统？
• RQ3 绕数与可逆性条件在不稳定系统 ν-度量定义中起什么作用？
• RQ4 为何该证明无法推广至多输入多输出系统？
• RQ5 是否存在命题4.8的矩阵类比，从而可将结果推广至MIMO系统？

主要发现

• 如定理1.1所证明，ν-度量与间隙度量在 𝒜₊ 上的单输入单输出不稳定系统集合上诱导完全相同的拓扑结构。
• 对所有 p₁,p₂ ∈ 𝕊(𝒜₊)，不等式 d₉(p₁,p₂) ≤ dₙu(p₁,p₂) ≤ d₉(p₁,p₂)/μ_opt(p₁) 成立，从而确立了拓扑等价性。
• ν-度量可表示为 dₙu(p₁,p₂) = inf{‖G₁ - G₂q‖_∞ : q ∈ inv(𝒜), W(q) = (0,0)}，提供了可计算的形式。
• 间隙度量可通过绕数与托普利茨算子的表达式获得，从而可与 ν-度量进行比较。
• 证明依赖于存在一个稳定控制器 c₀，使得 dₙu(p₁,p₂) < μₚ₁,𝒸₀，从而可构造合适的 q₀ 以控制间隙度量。
• 阻碍该结果推广至MIMO系统的主要障碍在于缺乏命题4.8的矩阵类比，而该类比对不等式链的建立至关重要。