[论文解读] The nonequivariant coherent-constructible correspondence and tilting

Sarah Scherotzke, Nicolò Sibilla|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文为一类具有参差堆叠扇的toric轨道丛建立了非等变的相干-可构造对应关系，证明了此类堆叠上的完美复形导出范畴与实环面上具有参差拉格朗日奇点支持的可构造层范畴之间的等价性。关键贡献在于通过此对应关系构造了toric Deligne-Mumford堆叠的倾斜复形，表明其导出范畴与有限维有限整体维数代数的导出范畴存在拟等价。

ABSTRACT

The coherent-constructible correspondence is a relationship between coherent sheaves on a toric variety X, and constructible sheaves on a real torus T. This was discovered by Bondal, and explored in the equivariant setting by Fang, Liu, Treumann and Zaslow. In this paper we collect partial results towards a proof of the non equivariant coherent-constructible correspondence. Also, we give applications to the construction of tilting complexes in the derived category of toric DM stacks.

研究动机与目标

• 建立一类广泛toric Deligne-Mumford堆叠的非等变相干-可构造对应关系。
• 证明当堆叠扇为参差时，从完美复形到可构造层的函子 $\kappa$ 是等价的。
• 将该对应关系应用于构造toric DM堆叠导出范畴中的倾斜复形。
• 证明此类堆叠的导出范畴与有限维有限整体维数代数的导出范畴拟等价。

提出的方法

• 将参差堆叠扇定义为满足特定条件的堆叠扇组合类。
• 在 $T^*M_\mathbb{R}$ 中构造一个锥形拉格朗日子集 $\tilde{\Lambda}_{\mathbf{\Sigma}}$ 及其在 $T^*\mathbb{T}$ 中的商 $\Lambda_{\mathbf{\Sigma}}$。
• 利用微局部层理论证明当 $\mathbf{\Sigma}$ 为参差时，$\mathrm{Sh}_c(\mathbb{T}, \Lambda_{\mathbf{\Sigma}})$ 关于张量积封闭，并且具有t-结构。
• 证明函子 $\kappa: \mathrm{Perf}(\mathcal{X}_{\mathbf{\Sigma}}) \to \mathrm{Sh}_c(\mathbb{T}, \Lambda_{\mathbf{\Sigma}})$ 是全纯且忠实的，且在参差条件下为等价。
• 将该对应关系应用于构造倾斜复形，通过证明 $\mathrm{Perf}(\mathcal{X}_{\mathbf{\Sigma}})$ 与有限维代数 $B$ 的 $D^b_{\mathrm{dg}}(B)$ 拟等价，其中 $B$ 具有有限整体维数。
• 利用 $\mathcal{P}\mathrm{erf}(\mathcal{X}_{\mathbf{\Sigma}})$ 的饱和性以确保伴随函子存在，从而实现拟等价的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 非等变相干-可构造对应关系是否在等变设定之外的toric轨道丛上成立？
• RQ2 在堆叠扇的何种组合条件下，该对应关系对普通完美复形成为等价？
• RQ3 相干-可构造对应关系能否用于构造toric DM堆叠导出范畴中的倾斜复形？
• RQ4 具有参差拉格朗日奇点支持的可构造层范畴是否关于张量积封闭并具有t-结构？
• RQ5 具有参差扇的光滑toric轨道丛的导出范畴是否具有倾斜对象？

主要发现

• 根据定理1.3，所有堆叠扇为参差的toric轨道丛均满足非等变相干-可构造对应关系。
• 当 $\mathbf{\Sigma}$ 为参差时，函子 $\kappa: \mathrm{Perf}(\mathcal{X}_{\mathbf{\Sigma}}) \to \mathrm{Sh}_c(\mathbb{T}, \Lambda_{\mathbf{\Sigma}})$ 是等价的。
• 当 $\mathbf{\Sigma}$ 为参差时，范畴 $\mathrm{Sh}_c(\mathbb{T}, \Lambda_{\mathbf{\Sigma}})$ 关于张量积封闭，并且具有t-结构。
• 对于任意具有参差堆叠扇的光滑toric轨道丛，$\mathcal{P}\mathrm{erf}(\mathcal{X}_{\mathbf{\Sigma}})$ 与有限维代数 $B$ 的 $D^b_{\mathrm{dg}}(B)$ 拟等价，其中 $B$ 具有有限整体维数。
• 如定理7.5所示，此类堆叠的导出范畴具有倾斜复形。
• 该构造与典范t-结构相容，并允许将全纯函子扩展至dg范畴。