[论文解读] The Coherent-Constructible Correspondence and Homological Mirror Symmetry for Toric Varieties

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 51被引用 22

一句话总结

本文通过更罗利（Morelli）K-理论公式的范畴化，建立了toric流形上的等变凝聚层、实向量空间余切丛的Fukaya范畴与多面体剖分上的构造层之间的三重等价关系。通过T对偶与微观层理论，构建了相干-构造对应，从而证明了toric流形的同调镜像对称。

ABSTRACT

This is an expository article describing recent results of the authors and David Nadler on microlocalization, the Fukaya category, and coherent sheaves on toric varieties. The original papers are arXiv:math/0604379, arXiv:math/0612399 and arXiv:0811.1228v1.

研究动机与目标

• 通过微分几何方法，将toric流形上的等变凝聚层与构造层通过微观几何联系起来，建立范畴镜像对称对应。
• 利用Morse理论与微观化，证明实向量空间余切丛的Fukaya范畴与该空间上构造层范畴等价。
• 通过将凝聚层的导出范畴与镜像Landau-Ginzburg模型的Fukaya-Seidel范畴关联，将Hori-Vafa镜像构造推广至导出与范畴框架。
• 提供Morelli公式在组合与K-理论兼容意义上的范畴化，用于toric流形等变K-理论。
• 证明toric Fano曲面的凝聚层导出范畴与镜像Fukaya-Seidel范畴的子范畴之间存在拟等价，并明确给出对象的对应关系。

提出的方法

• 通过对toric流形上实环丛作用进行对偶，构造T对偶镜像几何，将$(\mathbb{C}^*)^n$的辛几何映射至余切丛$T^*\mathbb{R}^n$。
• 利用Fukaya-Oh定理，将$T^*\mathbb{R}^n$的Fukaya范畴与$\mathbb{R}^n$上的构造层范畴联系起来，其中层在多面体上具有紧支集。
• 通过相干-构造对应，定义从toric流形$X_\Sigma$上的等变凝聚层到$M_\mathbb{R} = N_\mathbb{R}^\vee$上构造层的函子。
• 应用微观层理论，将奇异支集与特征循环与矩量多面体及扇形数据的组合结构联系起来。
• 通过提升等变线丛至T对偶几何中的拉格朗日子流形，构造镜像函子，利用矩量映射与辛对偶性。
• 通过Hirzebruch曲面$\mathbb{F}_m$等显式例子验证镜像对应，匹配Fukaya-Seidel范畴中的消失循环与$D^b Coh(\mathbb{F}_m)$中的例外集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 相干-构造对应如何被推广至toric流形的完整同调镜像对称等价？
• RQ2 toric流形上等变导出范畴与Hori-Vafa镜像的Fukaya-Seidel范畴之间存在何种精确范畴关系？
• RQ3 T对偶构造如何将toric流形上的等变线丛与镜像余切丛中的拉格朗日子流形联系起来？
• RQ4 相干-构造对应能否被解释为Morelli组合公式在等变K-理论上的范畴化？
• RQ5 镜像Landau-Ginzburg模型中的超势能$W_m$起何作用？其临界点如何对应于导出范畴中的例外对象？

主要发现

• 本文通过相干-构造对应，建立了等变导出范畴$D^b Coh_T(X_\Sigma)$、Fukaya范畴$Fuk(T^*M_\mathbb{R}; \Lambda)$与构造层范畴$Sh_{cc}(M_\mathbb{R}; \Lambda)$之间的三重等价。
• 对于Hirzebruch曲面$\mathbb{F}_m$，导出范畴$D^b Coh(\mathbb{F}_m)$与由四个消失循环$L_0, L_1, L_2, L_3$生成的子范畴$D\mathcal{B}FS((\mathbb{C}^*)^2, W_m)$拟等价。
• 镜像对应将$L_0 \sim \mathcal{O}_{\mathbb{F}_1}$，$L_1 \sim \pi^*T_{\mathbb{P}^2}(-1)$，$L_2 \sim \pi^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$，$L_3 \sim \mathcal{O}_E$，与完整强例外集合精确匹配。
• 在镜像$Y^\vee$中，超势能$\mathfrak{PO}$的临界点数量等于任意光滑射影toric流形$X$的$\dim_{\mathbb{Q}} H^*(X, \mathbb{Q})$，证实了关于临界点计数的猜想。
• 相干-构造对应实现了Morelli公式的范畴化：从$K^T(X_\Sigma)$到$K_0(Sh_{cc})$的函子与组合K-理论映射精确一致。
• 当$m > 2$时，包含关系$D\mathcal{B}FS((\mathbb{C}^*)^2, W_m) \hookrightarrow DFS((\mathbb{C}^*)^2, W_m)$不是等价，因无穷远处存在额外临界点，但有界子范畴准确捕获了正确的导出范畴。