[论文解读] The origin of regular Newtonian potential in infinite derivative gravity

Yun Soo Myung, Young-Jai Park|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文表明，在无限导数引力（IDG）中，牛顿势的常规形式并非源于点质量源，而是源于动量空间中高斯分布的质量密度。通过证明使用整函数（例如 $ e^{ au^2 oxempty/4} $）的IDG传播子会诱导出高斯质量分布 $ \rho_{\text{IDG}}(r) \propto e^{-r^2/\sigma^2} $，该理论避免了原点处的奇点，从而得到有限的势 $ \Phi_{\text{IDG}}(r) = -GM \cdot \text{Erf}(r/\sigma)/r $。这解释了IDG中正则性的起源，并证实了其与可重整化的兼容性。

ABSTRACT

It turns out that the infinite derivative gravity (IDG) is ghost-free and renormalizable when one chooses the exponential of an entire function. For this IDG case, the corresponding Newtonian potential generated from the delta function is non-singular at the origin. However, we will explicitly show that the source generating this non-singular potential is given not by the delta-function due to the point-like source of mass, but by the Gaussian mass distribution. This explains clearly why the IDG with the exponential of an entire function yields the finite potential at the origin.

研究动机与目标

• 阐明无限导数引力（IDG）中非奇点牛顿势的物理起源，该势在原点处有限。
• 解决长期存在的疑问：为何具有整函数（例如微分算子的指数）的IDG能避免牛顿奇点。
• 确定IDG中引力势的真正来源——具体而言，是源于狄拉克函数还是弥散的质量分布。
• 在IDG中建立源的动量空间形式与由此产生的空间质量分布之间的直接联系。

提出的方法

• 从作用量 $ S_{\text{IDG}} = -\frac{1}{2\kappa^2} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ R + G_{\mu\nu} \frac{a(\square_\sigma)-1}{\square} R^{\mu\nu} \right] $ 推导IDG的线性化传播子，其中 $ a(\square_\sigma) = e^{\sigma^2 \square / 4} $。
• 计算动量空间中传播子的静态极限，得到 $ \mathcal{D}^{\text{IDG}}_{\mu\nu,\rho\sigma}(k) \propto \frac{1}{a(-k^2_\sigma)} \frac{1}{k^2} $，其中 $ a(-k^2_\sigma) = e^{-\sigma^2 k^2 / 4} $。
• 通过逆傅里叶变换获得牛顿势 $ \Phi_{\text{IDG}}(r) = -\frac{GM}{r} \cdot \text{Erf}(r/\sigma) $，该势在 $ r=0 $ 处有限。
• 通过逆傅里叶变换将动量空间源 $ \tilde{\rho}_{\text{IDG}}(|\mathbf{k}|) = M e^{-\sigma^2 |\mathbf{k}|^2 / 4} $ 转换为实空间，得到质量密度 $ \rho_{\text{IDG}}(r) = \frac{M}{\pi^{3/2} \sigma^3} e^{-r^2 / \sigma^2} $。
• 将由此产生的高斯质量分布的势与点源产生的经典牛顿势进行比较，以隔离正则性的起源。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何具有整函数的无限导数引力在无无质量极点的情况下，仍能在原点产生有限的牛顿势？
• RQ2 导致IDG中正则势的引力源的真实形式是什么？
• RQ3 IDG中源的动量空间结构如何与其实空间质量分布相关联？
• RQ4 IDG中的正则势在多大程度上在大距离上类似于经典牛顿势？

主要发现

• IDG中的非奇点牛顿势并非源于点质量源 $ \rho_{\text{p}}(r) = M\delta^{(3)}(\mathbf{r}) $，而是源于高斯分布的质量密度 $ \rho_{\text{IDG}}(r) = \frac{M}{\pi^{3/2} \sigma^3} e^{-r^2 / \sigma^2} $。
• IDG中的动量空间源为 $ \tilde{\rho}_{\text{IDG}}(|\mathbf{k}|) = M e^{-\sigma^2 |\mathbf{k}|^2 / 4} $，对应于在尺度 $ \sigma $ 下对质量分布的高斯弥散。
• 由此产生的势为 $ \Phi_{\text{IDG}}(r) = -\frac{GM}{r} \cdot \text{Erf}(r/\sigma) $，在 $ r=0 $ 处有限，且 $ \Phi_{\text{IDG}}(0) = 0 $，与经典 $ -GM/r $ 的发散行为不同。
• 当 $ r \geq 3\sigma $ 时，IDG势渐近趋近于经典牛顿势，表明非局域效应被限制在短距离范围内。
• 由于整函数 $ a(\square_\sigma) = e^{\sigma^2 \square / 4} $ 无极点或零点，确保无负规范态，因此该理论保持无鬼态且可重整化。
• 因此，正则性的起源是将点源在长度尺度 $ \sigma $ 上弥散为高斯分布，从而抑制了原点处的奇点。