[论文解读] The Parameterized Complexity of Reasoning Problems Beyond NP

Ronald de Haan, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的参数化复杂度框架，用于对超越 NP 的推理问题进行分类，特别是多项式层级中的问题，通过确定它们是否能通过固定参数可满足性（fpt）归约到 SAT。其主要贡献在于提出了新的复杂度类（如 $k$-$*$ 和 $*$-$k$），并通过加权 QBF 可满足性、交替图灵机和一阶模型检查对这些类进行表征，同时为答案集编程和组合学中的问题提供了完备性结果。

ABSTRACT

Today's propositional satisfiability (SAT) solvers are extremely powerful and can be used as an efficient back-end for solving NP-complete problems. However, many fundamental problems in knowledge representation and reasoning are located at the second level of the Polynomial Hierarchy or even higher, and hence polynomial-time transformations to SAT are not possible, unless the hierarchy collapses. Recent research shows that in certain cases one can break through these complexity barriers by fixed-parameter tractable (fpt) reductions which exploit structural aspects of problem instances in terms of problem parameters. In this paper we develop a general theoretical framework that supports the classification of parameterized problems on whether they admit such an fpt-reduction to SAT or not. This framework is based on several new parameterized complexity classes. As a running example, we use the framework to classify the complexity of the consistency problem for disjunctive answer set programming, with respect to various natural parameters. We underpin the robustness of our theory by providing a characterization of the new complexity classes in terms of weighted QBF satisfiability, alternating Turing machines, and first-order model checking. In addition, we provide a compendium of parameterized problems that are complete for the new complexity classes, including problems related to Knowledge Representation and Reasoning, Logic, and Combinatorics.

研究动机与目标

• 开发一个理论框架，以固定参数可满足性（fpt）归约到 SAT 的可能性为依据，对超越 NP 的推理问题进行分类。
• 解决超越 NP 的问题使用多项式时间归约到 SAT 所带来的局限性，因为这将导致多项式层级坍塌。
• 提供一种类似于 NP-难或 W[1]-难的硬度理论，但针对 fpt 归约到 SAT 的存在性。
• 通过多种形式化系统（包括加权 QBF 可满足性、交替图灵机和一阶模型检查）对新复杂度类进行表征。
• 通过知识表示、逻辑和组合学中关键问题的完备性结果，证明该框架的稳健性与适用性。

提出的方法

• 引入两个新层级：$k$-$*$ 和 $*$-$k$，基于量化符交替模式，其中参数 $k$ 控制存在量化的数量或量化块中的变量数量。
• 定义从多项式层级更高层次问题到 SAT 的 fpt 归约，其中参数 $k$ 控制归约的可满足性。
• 通过具有有界存在量词块的加权量化布尔公式（QBF）和具有 $k$ 个存在状态的交替图灵机，建立 $k$-$*$ 类的表征。
• 提供 $k$-$*$ 类的一阶模型检查表征，将其与具有有界量化符交替的一阶逻辑模型检查问题联系起来。
• 使用归一化技术简化 $*$-$k$ 层级中的公式，从而实现类内问题的一致表示与比较。
• 采用 fpt 归约证明关键问题（如析取答案集编程和鲁棒约束满足问题）在新复杂度类中的完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否基于问题是否能通过 fpt 归约到 SAT 对超越 NP 的推理问题进行分类？如果是，适当的理论框架是什么？
• RQ2 允许通过 fpt 归约到 SAT 的问题的结构特性是什么？我们如何在复杂度理论设定中形式化这一特性？
• RQ3 新复杂度类 $k$-$*$ 和 $*$-$k$ 与参数化复杂度及多项式层级中的现有类有何关系？
• RQ4 该新框架能否用于证明知识表示与逻辑中问题（如答案集编程和 QBF 可满足性）的完备性结果？
• RQ5 是否存在多个等价的类表征方式（如通过 QBF、交替图灵机和一阶模型检查）？这些表征如何支持框架的稳健性？

主要发现

• 本文建立了一个新的参数化复杂度类层级，包括 $k$-$*$ 和 $*$-$k$，通过 fpt 归约到 SAT 捕获了超越 NP 问题的可满足性。
• 证明了析取答案集编程的一致性问题在 $k$-$*$ 层级中是完备的，为该框架提供了具体应用。
• $k$-$*$ 类通过具有 $k$ 个存在量词的加权 QBF 可满足性、具有 $k$ 个存在状态的交替图灵机，以及具有有界交替的一阶模型检查进行表征。
• $*$-$k$ 层级被证明具有归一化结果，从而实现了类内问题的一致表示与比较。
• 该框架为 fpt 可归约性到 SAT 提供了硬度理论，类似于 NP-难，其中 $orall^*orall^k$-WSat(2CNF) 被证明为 $orall^*orall^k$-完备，确立了新的不可满足性基准。
• 通过来自逻辑、知识表示和组合学的一系列问题（包括 DNF 最小化、图着色扩展和有界模型检查）在新类中的完备性，该框架得到了稳健的验证。