[论文解读] The primitivity index function for a free group, and untangling closed curves on hyperbolic surfaces. With an appendix by Khalid Bou-Rabee

Neha Gupta, Ilya Kapovich|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了自由群的本原性指数函数，建立了其与剩余有限性及双曲曲面拓扑之间的联系。证明了本原性指数的增长速度至少与一个与剩余有限性增长相关的函数相当，从而首次为双曲曲面有限覆盖中解开闭测地线提供了非平凡的下界。

ABSTRACT

Motivated by the results of Scott and Patel about "untangling" closed geodesics in finite covers of hyperbolic surfaces, we introduce and study primitivity, simplicity and non-filling index functions for finitely generated free groups. We obtain lower bounds for these functions and relate these free group results back to the setting of hyperbolic surfaces. An appendix by Khalid Bou-Rabee connects the primitivity index function to the residual finiteness growth function for $F_N$.

研究动机与目标

• 为有限生成自由群定义并分析本原性指数函数，特别是与子群分离性及本原元素的关系。
• 建立本原性指数函数的下界，从而为将双曲曲面上的闭测地线提升为简单或非充满曲线所需的最小有限覆盖次数提供下界。
• 将本原性指数函数与自由群的剩余有限性增长函数联系起来，利用几何群论的结果。
• 解决有限覆盖中解开闭测地线的定量行为问题，该问题受到Scott和Patel关于子群分离性和曲线提升结果的启发。
• 首次为控制群元素在有限指数子群中成为本原元素所需最小覆盖次数的函数 $ f_{\text{prim}}(n; F_N) $ 提供已知下界。

提出的方法

• 将本原性指数 $ d_{\text{prim}}(g; F_N) $ 定义为满足 $ g $ 在其中为本原元素的有限指数正规子群 $ H \trianglelefteq F_N $ 的最小指数。
• 将本原性指数函数 $ f_{\text{prim}}(n; F_N) $ 定义为所有非平凡且非真幂元素 $ g \in F_N $ 中 $ d_{\text{prim}}(g) $ 的最大值，其中 $ g $ 的字长 $ \leq n $。
• 建立一个关键不等式：$ \operatorname{RF}_G(n) \leq f_{\text{prim}}(4n+4) $，将本原性指数与剩余有限性增长函数 $ \operatorname{RF}_G(n) $ 联系起来。
• 应用Kozma和Thom关于剩余有限性增长的深刻结果，推导出下界：$ f_{\text{prim}}(4n+4) \geq \exp\left(\left(\frac{\log n}{C\log\log n}\right)^{1/4}\right) $。
• 利用换位子构造 $ \gamma_n = [w_n, w_n^a] $，其中 $ w_n, a \in F_N $ 为非交换元素，以确保 $ \gamma_n $ 不是真幂，从而支持本原性论证。
• 利用如下事实：若 $ \gamma_n $ 在 $ H $ 中为本原元素，则 $ w_n $ 或 $ w_n^a $ 不可能属于 $ H $，因此 $ [F_N : H] \geq \operatorname{D}(w_n) = \operatorname{RF}_G(n) $，从而导出主要不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由群 $ F_N $（秩 $ N \geq 2 $）的本原性指数函数 $ f_{\text{prim}}(n; F_N) $ 的渐近增长速率如何？
• RQ2 本原性指数函数与自由群中剩余有限性增长函数 $ \operatorname{RF}_G(n) $ 有何关系？
• RQ3 可为将双曲曲面有限覆盖中闭测地线提升为简单或非充满曲线的最小覆盖次数建立哪些下界？
• RQ4 本原性指数函数能否用于量化双曲曲面有限覆盖中解开闭测地线的复杂性？
• RQ5 自由群中的本原性指数与剩余有限性增长函数是否表现出相同的渐近行为？

主要发现

• 本文首次建立了本原性指数函数的非平凡下界：对于某个常数 $ C > 0 $ 且充分大的 $ n $，有 $ f_{\text{prim}}(4n+4) \geq \exp\left(\left(\frac{\log n}{C\log\log n}\right)^{1/4}\right) $。
• 证明了 $ \operatorname{RF}_G(n) \leq f_{\text{prim}}(4n+4) $，表明本原性指数函数在参数线性平移下主导剩余有限性增长函数。
• 在Babai关于Cayley图直径的猜想下，下界可改进为 $ f_{\text{prim}}(4n+4) \geq n^{1/(C\log\log n)} $（对大 $ n $ 成立）。
• 结果表明，为将长度为 $ L $ 的闭测地线提升为双曲曲面上的简单或非充满曲线，所需的最小覆盖次数至少以 $ \exp\left(\left(\frac{\log L}{C\log\log L}\right)^{1/4}\right) $ 的阶增长。
• 本文首次解决了函数 $ f_{\Sigma}(L) $ 的下界，该函数衡量的是长度 $ \leq L $ 的闭测地线在提升时所需的最大最小覆盖次数。
• 本原性与剩余有限性之间的联系揭示出，本原性指数函数捕捉到了自由群中比以往理解更深的结构复杂性。