[论文解读] The quotient of a Kauffman bracket skein algebra by the square of an augmentation ideal

Shunsuke Tsuji|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文构建了曲面的Kauffman括号 skein 代数模其 augmentation 理想的平方的商代数的显式基，从而在代数上定义了一个更精细的滤子。该滤子导致了对手柄流形中链环的两个有限型不变量，并通过 Baker-Campbell-Hausdorff 公式实现了从 genus-zero 曲面的 mapping class group 到完成 skein 代数的单射群同态。

ABSTRACT

We give an explicit basis $\mathcal{B}$ of the quotient of the Kauffman bracket skein algebra $\mathcal{S} (Σ)$ on a surface $Σ$ by the square of an augmentation ideal. As an application, it induces two kinds of finite type invariants of links in a handle body in the sense of Le. Moreover, we construct an embedding of the mapping class group of a compact connected surface of genus $0$ into the Kauffman bracket skein algebra on the surface completed with respect to a filtration coming from the augmentation ideal.

研究动机与目标

• 提供 Kauffman 括号 skein 代数模 augmentation 理想平方的商的显式基。
• 定义 skein 代数上一个比 augmentation 理想的标准幂滤子更精细的新滤子。
• 利用新滤子构造手柄流形中链环的有限型不变量。
• 通过 Baker-Campbell-Hausdorff 公式将 genus-zero 曲面的 mapping class group 嵌入到完成 skein 代数中。
• 利用对数结构将先前关于 Dehn 扭转作用的结果推广到更广泛的 mapping class group 元素类。

提出的方法

• 构造 $\mathcal{B}$ 作为 $\mathcal{S}(\Sigma)/ (\ker \epsilon)^2$ 的基，其由 $\{1\}$、$\{A+1\}$、$\{\langle x_i, x_j \rangle \mid i \leq j\}$ 和 $\{\langle x_i, x_j, x_k \rangle \mid i < j < k\}$ 组成，其中 $x_i$ 生成 $\pi_1(\Sigma)$。
• 定义一个非退化的双线性形式 $\vartheta: \mathcal{S}(\Sigma) \times \mathcal{S}(\Sigma) \to \mathbb{Q}[A^{\pm 1}]$，以证明基 $\mathcal{B}$ 的线性无关性。
• 引入一个新滤子 $\{F^n \mathcal{S}(\Sigma)\}_{n \geq 0}$，其中 $F^{2n} = (\ker \epsilon)^n$，$F^{2n+1} = F^3 \cdot F^{2n-2}$，且 $F^3/F^4 \simeq \wedge^3 H_1(\Sigma, \mathbb{Q})$。
• 利用该滤子在完成 skein 代数中通过 Baker-Campbell-Hausdorff 级数定义 mapping class group 元素的对数。
• 通过将 Dehn 扭转映射到包含反双余弦和对数函数的特定元素 $L(c)$，定义一个群同态 $\zeta: \mathcal{M}(\Sigma) \to (\widehat{\mathcal{S}(\Sigma)}, \mathrm{bch})$。
• 通过证明 $\zeta(\xi) = 0$ 蕴含 $\xi = \mathrm{id}$，利用 $\exp(\sigma(\cdot))$ 在完成 skein 模上的作用，证明 $\zeta$ 的单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kauffman 括号 skein 代数的商 $\mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$ 的显式基是什么？
• RQ2 如何构造 skein 代数上的更精细滤子以捕捉高阶不变量？
• RQ3 能否从 $\mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$ 的结构推导出手柄流形中链环的有限型不变量？
• RQ4 是否可能通过对数结构将 genus-zero 曲面的 mapping class group 嵌入到完成 skein 代数中？
• RQ5 Baker-Campbell-Hausdorff 公式是否能一致地实现 mapping class group 元素在完成 skein 模上的作用？

主要发现

• 构造了 $\mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$ 的显式基 $\mathcal{B}$，其由 $1$、$A+1$、满足 $i \leq j$ 的对称对 $\langle x_i, x_j \rangle$ 和满足 $i < j < k$ 的三重积 $\langle x_i, x_j, x_k \rangle$ 组成。
• 双线性形式 $\vartheta$ 是非退化的，且满足 $\vartheta((\ker \epsilon)^n (\ker \epsilon)^m) \in (A+1)^{n+m}$，这确保了基 $\mathcal{B}$ 的线性无关性。
• 新滤子 $\{F^n \mathcal{S}(\Sigma)\}$ 满足 $F^{2n+1} \mathcal{S}(\Sigma) = F^3 \mathcal{S}(\Sigma) \cdot F^{2n-2} \mathcal{S}(\Sigma)$，且 $F^{2n}/F^{2n+1} \simeq S^2(H_1(\Sigma, \mathbb{Q}))$，$F^{2n+1}/F^{2n+2} \simeq \wedge^3(H_1(\Sigma, \mathbb{Q}))$。
• 商映射 $\mathcal{T}(\Sigma) \to \mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$，$L \mapsto (-2)^{-|L|}[L]$，在 $\Sigma \times I$ 中的链环上定义了一个二阶有限型不变量。
• 群同态 $\zeta: \mathcal{M}(\Sigma) \to (\widehat{\mathcal{S}(\Sigma)}, \mathrm{bch})$ 是良定义且单射的，将 mapping class group 嵌入到完成 skein 代数中。
• 元素 $\xi \in \mathcal{M}(\Sigma)$ 在 $\widehat{\mathcal{S}(\Sigma,J)}$ 上的作用为 $\exp(\sigma(\zeta(\xi)))$，且 $\zeta(\xi) = 0$ 当且仅当 $\xi = \mathrm{id}$，从而证明了单射性。