[论文解读] The reverse order law for Moore-Penrose inverses of operators on Hilbert C*-modules

Kamran Sharifi, Behnaz Ahmadi Bonakdar|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文建立了希尔伯特 C*-模上有界自伴可施行算子的摩尔-彭罗斯逆的逆序律 $(TS)^{\dagger} = S^{\dagger}T^{\dagger}$ 成立的必要且充分条件。关键结果表明，该等式成立当且仅当 $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 且 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$，将格列维尔的矩阵结果推广至非交换算子设置。

ABSTRACT

Suppose $T$ and $S$ are bounded adjointable operators between Hilbert C*-modules admitting bounded Moore-Penrose inverse operators. Some necessary and sufficient conditions are given for the reverse order law $(TS)^{ †} =S^{ †} T^{ †}$ to hold. In particular, we show that the equality holds if and only if $Ran(T^{\ast}TS) \subseteq Ran(S)$ and $Ran(SS^{\ast}T^{\ast}) \subseteq Ran(T^{\ast}),$ which was studied first by Greville [{\it SIAM Rev. 8 (1966) 518--521}] for matrices.

研究动机与目标

• 将格列维尔关于矩阵的逆序律推广至希尔伯特 C*-模上有界自伴可施行算子。
• 确定在希尔伯特 C*-模的非交换设置下，$(TS)^{\dagger} = S^{\dagger}T^{\dagger}$ 成立的必要且充分条件。
• 通过范围与核的包含关系刻画摩尔-彭罗斯逆，以应对希尔伯特 C*-模中缺乏正交补及标准希尔伯特空间性质的问题。
• 解决文献[17]中提出的关于模算子逆序律的开放问题。

提出的方法

• 利用希尔伯特 C*-模的核与范围分量的正交分解，对算子进行矩阵表示。
• 应用摩尔-彭罗斯逆的四个定义方程刻画：$TXT=T$，$XTX=X$，$(TX)^*=TX$，$(XT)^*=XT$。
• 采用徐与盛建立的闭合范围与有界摩尔-彭罗斯逆存在性之间的等价性。
• 通过分解 $T = T_1 \oplus T_2$，$S = S_1 \oplus S_2$（其中 $T_2, S_2$ 表示核部分），将算子条件转化为范围与核的包含关系。
• 利用换位子恒等式与投影，特别是 $[T_1T_1^*, D^{-1}] = 0$ 和 $T_2T_2^*T_1 = 0$，分析 $T^{\dagger}S^{\dagger}$ 的结构。
• 建立逆序律与两个范围包含条件之间的等价性：$\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 与 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希尔伯特 C*-模上有界自伴可施行算子的逆序律 $(TS)^{\dagger} = S^{\dagger}T^{\dagger}$ 成立？
• RQ2 格列维尔关于矩阵逆序律的结果如何推广至标准希尔伯特空间性质不成立的希尔伯特 C*-模设置？
• RQ3 在非交换算子代数中，范围与核包含关系在刻画算子积的摩尔-彭罗斯逆中起何种作用？
• RQ4 逆序律能否在希尔伯特 C*-模框架下等价地用投影与换位子重新表述？
• RQ5 希尔伯特 C*-模中摩尔-彭罗斯逆的性质与希尔伯特空间中的性质有何不同，特别是在正交分解方面？

主要发现

• 逆序律 $(TS)^{\dagger} = S^{\dagger}T^{\dagger}$ 成立当且仅当 $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 且 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$。
• 通过矩阵分解与投影分析，建立了逆序律与两个中间条件之间的等价性：$(TS)^{\dagger}TS = S^{\dagger}T^{\dagger}TS$ 与 $TSS^*T^{\dagger}T = TSS^*$。
• 条件 $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 确保 $T^*TS$ 的作用落在 $S$ 的范围内，这是乘积逆能正确分解的必要条件。
• 条件 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ 确保 $T^*$ 的伴随与乘积 $SS^*T^*$ 兼容，从而保持逆的结构。
• 证明依赖于将算子分解为范围与核分量，并分析所得的矩阵块，特别是证明 $T_2T_2^*T_1 = 0$ 与范围包含关系等价。
• 该结果将格列维尔于1966年提出的矩阵结果推广至希尔伯特 C*-模，证实了在非交换算子设置下，相同的范围包含条件既是必要也是充分的。