[论文解读] Moore-Penrose inverse of Gram operator on Hilbert C*-modules

Mohammad Sal Moslehian, Kamran Sharifi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文研究希尔伯特 C*-模上正规算子 $ t $ 的格拉姆算子 $ t^*t $ 的摩尔-彭罗斯可逆性，确立了 $ t^\flat = (t^*t)^\flat t^* $ 与 $ (t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat} $ 成立的条件。主要贡献在于对这些恒等式有效性的刻画，特别是在范围正交补全假设下，其应用涵盖关于紧算子代数上模的处处定义闭算子。

ABSTRACT

Let $t$ be a regular operator between Hilbert $C^*$-modules and $t^†$ be its Moore-Penrose inverse. We investigate the Moore-Penrose invertibility of the Gram operator $t^*t$. More precisely, we study some conditions ensuring that $t^† = (t^* t)^† t^*= t^* (t t^*)^†$ and $(t^*t)^†=t^†t^{* †}$ hold. As an application, we get some results for densely defined closed operators on Hilbert $C^*$-modules over $C^*$-algebras of compact operators.

研究动机与目标

• 研究希尔伯特 C*-模上正规算子 $ t $ 的格拉姆算子 $ t^*t $ 的摩尔-彭罗斯可逆性。
• 确定 $ t^\flat = (t^*t)^\flat t^* $ 与 $ (t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat} $ 成立的充分条件。
• 将结果推广至关于紧算子代数上希尔伯特 C*-模的处处定义闭算子。
• 阐明范围正交补全对确保逆恒等式有效性的作用。

提出的方法

• 利用希尔伯特 C*-模与有界可伴算子的理论，聚焦于有界与无界正规算子。
• 应用摩尔-彭罗斯逆的极限表示式 $ t^\flat = \lim_{\omega \to 0^+} t^* (\omega 1 + t t^*)^{-1} $。
• 通过预解式 $ (\omega 1 + t t^*)^{-1} $ 运用谱理论与有界扰动技术。
• 分析定义域包含关系与范围性质，特别是 $ \text{Dom}(t^\flat) \supseteq \text{Ran}(t^* (t t^*)^\flat) $，以评估算子等式。
• 利用 $ \overline{\text{Ran}(t)} $ 与 $ \overline{\text{Ran}(t^*)} $ 为正交补全的假设，推导出交换性与逆恒等式。
• 将 [6, 定理 3.8] 的结果应用于紧算子代数，其中所有处处定义闭算子均为正规算子且存在摩尔-彭罗斯逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于希尔伯特 C*-模上的正规算子 $ t $，恒等式 $ t^\flat = (t^*t)^\flat t^* $ 成立？
• RQ2 在何种条件下，此类算子的恒等式 $ (t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat} $ 成立？
• RQ3 算子包含关系 $ \text{Dom}(t^{*\flat} (t t^*)^\flat) \subset \text{Dom}(t^\flat) $ 是否可能为真包含？这对逆恒等式意味着什么？
• RQ4 算子 $ t $ 与 $ t^* $ 的范围正交补全如何影响摩尔-彭罗斯逆的结构？
• RQ5 所有在紧算子代数上的希尔伯特 C*-模上处处定义闭算子均为正规算子且存在摩尔-彭罗斯逆这一结果有何含义？

主要发现

• 若 $ \overline{\text{Ran}(t^*)} $ 与 $ \overline{\text{Ran}(t)} $ 在模中为正交补全，则恒等式 $ t^\flat = (t^*t)^\flat t^* $ 成立。
• 在相同的正交补全假设下，恒等式 $ (t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat} $ 成立。
• 包含关系 $ \text{Dom}(t^{*\flat} (t t^*)^\flat) \subset \text{Dom}(t^\flat) $ 可能为真包含，表明逆恒等式中的算子包含关系可能并非等式。
• 对于紧算子代数上的希尔伯特 C*-模，每个处处定义闭算子均为正规算子且存在摩尔-彭罗斯逆。
• 若算子 $ S $ 与 $ t $、$ t^* $ 可交换，且 $ t $ 与 $ t^* $ 的范围为正交补全，则有 $ S t^\flat \subseteq t^\flat S $。
• 算子 $ t $ 的自伴性由 $ t = \overline{t^\flat t} t^* $ 刻画，其中 $ \overline{t^\flat t} $ 为 $ \overline{\text{Ran}(t^*)} $ 上的正交投影。