[论文解读] The Rigidity Theorems of Self Shrinkers via Gauss maps

Qi Ding, Y. L. Xin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过分析其高斯映射的像，建立了欧氏空间中自收缩子的刚性定理。利用加权调和映射理论及目标流形的几何性质——余维数为一的球面与更高余维数下的格拉斯曼流形，证明了若高斯像位于一个足够小的半球子集内，则自收缩子必为超平面或柱面，且在余维数为一的情况下给出了最优条件。

ABSTRACT

We study the rigidity results for self-shrinkers in Euclidean space by restriction of the image under the Gauss map. The geometric properties of the target manifolds carry into effect. In the self-shrinking hypersurface situation Theorem 3.1 and Theorem 3.2 not only improve the previous results, but also are optimal. In higher codimensional case, using geometric properties of the Grassmanian manifolds (the target manifolds of the Gauss map) we give a rigidity theorem for self-shrinking graphs.

研究动机与目标

• 基于自收缩子的高斯映射像，建立其刚性条件的最优结果。
• 将关于整个图象自收缩超曲面的已知结果推广至更广泛的几何约束。
• 利用格拉斯曼流形几何，将刚性结果推广至更高余维数的自收缩图象。
• 证明在余维数为一的情况下，半球限制的最优性。
• 为更高余维数刚性提供基于加权调和映射与目标流形几何的框架。

提出的方法

• 证明在漂移拉普拉斯算子下，自收缩子的高斯映射为加权调和映射。
• 推导漂移拉普拉斯算子作用于通过高斯映射拉回的函数时的复合公式。
• 利用球面的凸几何性质，细化余维数为一情况下的像限制条件。
• 应用格拉斯曼流形的几何性质，分析更高余维数的自收缩子。
• 利用截断函数技巧与在加权测度 $\rho = e^{-|x|^2/4}$ 下的 $L^2$ 估计，控制曲率与梯度项。
• 采用分部积分与衰减估计，证明在像约束下第二基本形式的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中，当自收缩子适当浸入时，其高斯像满足何种条件时，该超曲面必为超平面？
• RQ2 能否通过将高斯像限制在比闭半球更小的子集内，来改进对整个图象自收缩超曲面的刚性结果？
• RQ3 如何利用格拉斯曼目标流形的几何性质，将自收缩子的刚性理论推广至更高余维数？
• RQ4 高斯像的最优范围为何，可迫使自收缩子为仿射或柱面？
• RQ5 高斯映射的加权调和映射性质在多大程度上约束了自收缩子的几何结构？

主要发现

• 在余维数为一的情况下，若一个适当浸入的自收缩子的高斯像位于一个开半球内，则该超曲面必为超平面。
• 本文改进了先前结果，表明高斯像可被限制在余维数为一的闭半球 $\overline{S}_{+}^{n-1}$ 内，该集合小于闭半球 $\overline{S}_{+}^{n}$，且该条件为最优。
• 对于更高余维数的自收缩子，若其高斯像位于格拉斯曼流形的一个足够小的子集内，则该子流形必为线性子空间。
• 证明表明，在像限制条件下，第二基本形式的范数平方 $|B|^2$ 恒为零，意味着其平坦性。
• 分析确认，当高斯像位于目标流形中足够小的子集内时，唯一满足完全性与适当浸入性的自收缩子必为仿射子空间，或为低维自收缩子的柱面。
• 该方法在加权测度 $\rho = e^{-|x|^2/4}$ 下导出 $L^2$ 衰减估计，从而得出 $|\nabla h|^2 \equiv 0$ 与 $|B|^2 \equiv 0$ 的极限结论。