[论文解读] The single equality $A^{*n}A^n = (A^*A)^n$ does not imply the quasinormality of weighted shifts on rootless directed trees

Paweł Pietrzycki|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文针对每个整数 $ n \geq 2 $，在具有一个分叉顶点的无根有向树上构造了一个有界但非准正规的加权移位算子，使其满足单一等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $，从而证明在无根情形下，该等式并不蕴含准正规性。此外，该论文进一步表明，此类例子也存在于 $ \sigma $-有限测度空间上的 $ L^2 $-空间中的复合算子类中。

ABSTRACT

It is proved that each bounded injective bilateral weighted shift $W$ satisfying the equality $W^{*n}W^{n}=(W^{*}W)^{n}$ for some integer $n\geq 2$ is quasinormal. For any integer $n\geq 2$, an example of a bounded non-quasinormal weighted shift $A$ on a rootless directed tree with one branching vertex which satisfies the equality $A^{*n}A^{n}=(A^{*}A)^{n}$ is constructed. It is also shown that such an example can be constructed in the class of composition operators in $L^2$-spaces over $σ$-finite measure spaces.

研究动机与目标

• 解决关于加权移位算子在无根有向树上是否满足单一等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ 就能推出准正规性的开放问题。
• 显式构造具有一个分叉顶点的有界、非准正规加权移位算子，使其在某个固定的 $ n \geq 2 $ 下满足该等式。
• 将构造方法扩展至 $ \sigma $-有限测度空间上的 $ L^2 $-空间中的复合算子类。
• 与已知事实对比：对于有界单射双边加权移位算子，相同的等式确实蕴含准正规性。

提出的方法

• 通过递推关系定义的权重序列 $ \{\gamma_k\}_{k=0}^\infty $，在具有一个分叉顶点的无根有向树 $ T_{\infty} $ 上构造一个加权移位算子 $ S_\lambda $。
• 定义权重序列 $ \alpha_k = \sqrt{k^{n-1} q^{k-1}} $ 和 $ \beta_k = \sqrt{\frac{1}{k} c^{\frac{1}{n-1}}} $，其中 $ k \in \mathbb{N} $，参数 $ q \in \mathbb{Q} \cap (0,1) $ 与 $ c \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) $ 满足特定代数条件。
• 施加条件 (5.10) 和 (5.11)，以确保 $ (S_\lambda^* S_\lambda)^n = S_\lambda^{*n} S_\lambda^n $，但对所有 $ p \neq n $ 有 $ (S_\lambda^* S_\lambda)^p \neq S_\lambda^{*p} S_\lambda^p $，利用 $ S_{-1}(q) = -\frac{\ln(1-q)}{q} $ 的超越性。
• 利用无根有向树上所有非零权重的加权移位算子都酉等价于 $ L^2 $-空间中的复合算子这一事实，实现该例子向该类的转移。
• 使用递推关系（命题 5.1）定义序列 $ \{\gamma_k\} $，以确保其有界性及对构造至关重要的代数性质。
• 应用引理 5.2 和推论 3.2，证明某些和 $ S_m(q) $ 为代数数或超越数，从而在非准正规性的证明中使用反证法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ n \geq 2 $，加权移位算子在无根有向树上满足单一等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ 是否蕴含准正规性？
• RQ2 是否存在一个有界、非准正规的加权移位算子，在具有一个分叉顶点的无根有向树上，对某个 $ n \geq 2 $ 满足 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $？
• RQ3 是否可能在 $ \sigma $-有限测度空间上的 $ L^2 $-空间中的复合算子类中构造出此类例子？
• RQ4 加权移位算子在有界单射双边情形与在无根有向树上的情形中，等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ 的行为有何不同？
• RQ5 为确保该等式仅对单一 $ n $ 成立，系列 $ S_m(q) $ 所需的代数与超越性质是什么？

主要发现

• 对每个整数 $ n \geq 2 $，存在一个在具有一个分叉顶点的无根有向树上的有界、非准正规加权移位算子 $ A $，使得 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $。
• 所构造的移位算子满足对所有 $ p \in \{2,3,\ldots\} \setminus \{n\} $ 有 $ (A^*A)^p \neq A^{*p}A^p $，从而证明在该设定下，该等式不蕴含准正规性。
• 该例子通过序列 $ \alpha_k = \sqrt{k^{n-1} q^{k-1}} $ 和 $ \beta_k = \sqrt{\frac{1}{k} c^{\frac{1}{n-1}}} $ 构造，其中 $ q \in \mathbb{Q} \cap (0,1) $，$ c \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) $，且参数满足 $ (S_{n-1}(q))^n = c S_0(q) $ 以及对 $ k = 1,\ldots,n-2 $ 有 $ c^{k/(n-1)} \notin \mathbb{Q} $。
• 由递推关系定义的序列 $ \{\gamma_k\}_{k=0}^\infty $ 有界且由代数数构成，确保加权移位算子在 $ \ell^2(V_\infty) $ 上有界且定义良好。
• 该构造依赖于 $ S_{-1}(q) = -\frac{\ln(1-q)}{q} $ 的超越性，若等式对 $ p = n+1 $ 或 $ p > n+1 $ 成立，则会导致矛盾，从而排除这些情况。
• 通过酉等价性，该例子可推广至 $ L^2 $-空间中的复合算子，表明此类算子也可满足单一等式但并非准正规。