[论文解读] The special fiber of the motivic deformation of the stable homotopy category is algebraic

Bogdan Gheorghe, Guozhen Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文建立了在 $˃^{0,0}/\tau$ 上的谐振 motivic 模谱 $∞$-范畴与 $p$-完备化 $\mathrm{BP}_*\mathrm{BP}$-余模在偶数度上的有界导出范畴之间的等价性。该等价性诱导了 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$ 的 motivic Adams 族谱序列与经典代数 Novikov 族谱序列之间的同构，从而使得对经典球面稳定同伦群的高维计算成为可能，计算范围已延伸至第 90 个茎及更远。

ABSTRACT

For each prime $p$, we define a $t$-structure on the category $\widehat{S^{0,0}}/τ ext{-}\mathbf{Mod}_{harm}^b$ of harmonic $\mathbb{C}$-motivic left module spectra over $\widehat{S^{0,0}}/τ$, whose MGL-homology has bounded Chow-Novikov degree, such that its heart is equivalent to the abelian category of $p$-completed $BP_*BP$-comodules that are concentrated in even degrees. We prove that $\widehat{S^{0,0}}/τ ext{-}\mathbf{Mod}_{harm}^b$ is equivalent to $\mathcal{D}^b({{BP}_*{BP} ext{-}\mathbf{Comod}}^{ev})$ as stable $\infty$-categories equipped with $t$-structures. As an application, for each prime $p$, we prove that the motivic Adams spectral sequence for $\widehat{S^{0,0}}/τ$, which converges to the motivic homotopy groups of $\widehat{S^{0,0}}/τ$, is isomorphic to the algebraic Novikov spectral sequence, which converges to the classical Adams-Novikov $E_2$-page for the sphere spectrum $\widehat{S^0}$. This isomorphism of spectral sequences allows Isaksen and the second and third authors to compute the stable homotopy groups of spheres at least to the 90-stem, with ongoing computations into even higher dimensions.

研究动机与目标

• 在特殊纤维 $\tau = 0$ 处建立 motivic 稳定同伦范畴与 $\mathrm{BP}_*\mathrm{BP}$-余模的代数范畴之间的导出等价性。
• 将 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$ 的 motivic Adams 族谱序列识别为经典代数 Novikov 族谱序列。
• 通过 $\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ 上的形变理论，建立 motivic 同伦论与经典同伦论之间的计算桥梁。
• 利用该同构实现对经典球面稳定同伦群至第 90 个茎的显式计算。

提出的方法

• 在具有有界 Chow-Novikov 度的 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$-模谱的范畴上构造一个 $t$-结构。
• 证明该 $t$-结构的中心等价于偶数度上 $p$-完备化 $\mathrm{BP}_*\mathrm{BP}$-余模的阿贝尔范畴。
• 在 $\mathcal{D}^b(\mathrm{BP}_*\mathrm{BP}\text{-Comod}^{\mathrm{ev}})$ 与 $\widehat{S^{0,0}}/\tau\text{-Mod}_{\mathrm{harm}}^b$ 之间建立稳定 $\infty$-范畴的等价性。
• 利用普遍系数族谱序列和 $\mathrm{MGL}$-同调的性质，分析 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$ 上的模范畴。
• 刻画 motivic 设置下的 Adams 层次结构，并证明其与代数 Novikov 族谱序列中的结构一致。
• 利用 $\tau$ 对 motivic 球面谱的形变，将 $\tau = 0$ 的纤维与经典同伦论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 motivic 稳定同伦范畴在 $\tau = 0$ 处的特殊纤维是否与 $\mathrm{BP}_*\mathrm{BP}$-余模的代数范畴等价？
• RQ2 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$ 的 motivic Adams 族谱序列是否与经典代数 Novikov 族谱序列一致？
• RQ3 该等价性是否可用于计算经典球面稳定同伦群在已知范围之外的群？
• RQ4 $\mathrm{MGL}$-同调在控制 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$ 上谐振 motivic 模的结构中起什么作用？
• RQ5 $\tau$-Bockstein 族谱序列与 $\tau = 0$ 处的 motivic Adams 族谱序列有何关系？

主要发现

• 具有有界 Chow-Novikov 度的谐振 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$-模谱范畴，等价于 $p$-完备化 $\mathrm{BP}_*\mathrm{BP}$-余模在偶数度上的有界导出范畴。
• $\widehat{S^{0,0}}/\tau$ 的 motivic Adams 族谱序列与经典球面谱的代数 Novikov 族谱序列同构。
• 该同构使得对经典球面稳定同伦群的计算可延伸至至少第 90 个茎，目前工作仍在向更高维度推进。
• motivic 范畴上的 $t$-结构的中心等价于偶数度 $\mathrm{BP}_*\mathrm{BP}$-余模的范畴，证实了 2016 年的猜想。
• 形变参数 $\tau$ 诱导的族谱序列与 $\tau$-Bockstein 族谱序列一致，从而将 motivic 与经典同伦论联系起来。
• 论文中的图表展示了 $\widehat{S^{0,0}}/\tau$ 的 motivic Adams 族谱序列在 $E_2$、$E_3$ 和 $E_\infty$ 页的图像，显示其与经典 Adams 族谱序列在 $E_2$ 页的一致性。