[论文解读] The symmetric Square of the Theta Divisor in Genus 4

Thomas Krämer, Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文利用Tannakian形式化和 perverse sheaf 卷积，研究了一般四维阿贝尔三倍的theta除子的对称平方，分析其Hodge结构的变化。证明了theta除子的Tannakian群为 $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$，确认了在四维情况下关于cohomology表示理论结构的猜想。

ABSTRACT

We discuss variations of Hodge structures on abelian varieties that arise from intersecting translates of theta divisors with a special focus on the case of abelian varieties of dimension 4

研究动机与目标

• 确定一般四维主极化阿贝尔三倍上 perverse sheaf $\delta_\Theta$ 对应的Tannakian群 $G(X,\Theta)$。
• 验证当 $g=4$ 时，$G(X,\Theta) = \mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ 的猜想，扩展已知的 $g \leq 3$ 情况的结果。
• 确立由 $\delta_\Theta$ 的对称平方与交错平方所生成的 perverse sheaves $\delta_\pm$ 的简洁性。
• 将 $Y_x = \Theta_x \cap \Theta_{-x}$ 上的Hodge结构与三复立体的Mumford-Tate群及中间雅可比簇联系起来。
• 利用退化技术与限制函子，将问题约化至曲线的雅可比簇，实现表示论分类。

提出的方法

• 利用Tannakian形式化，将阿贝尔簇上 perverse sheaf 的范畴描述为约化群 $G(X,\Theta)$ 的表示。
• 应用 [We2] 中张量范畴内的 perverse sheaf 卷积积，识别 $\delta_\pm$ 为 $\delta_\Theta$ 的对称平方与交错平方。
• 通过退化至一般四维曲线的雅可比簇，诱导出限制函子 $\rho: \mathrm{Rep}(G(X,\Theta)) \to \mathrm{Rep}(G_\Psi)$。
• 利用Mumford-Tate群 $\mathrm{MT}(\Theta)_{sc} = \mathrm{Sp}(8,\mathbb{C}) \times \mathrm{Sp}(10,\mathbb{C})$，通过上同调计算分析Hodge结构。
• 使用计算机代数系统（MAGMA 与 SAGE）计算上同调 $\mathbb{H}^\bullet(X, \delta_\pm)$，并将结果分解为不可约表示。
• 应用Lefschetz不动点公式，验证对合 $\sigma = -\mathrm{id}_X$ 在表示 $B$ 上的作用平凡，这是分解中的关键部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般主极化阿贝尔三倍（四维），Tannakian群 $G(X,\Theta)$ 是什么？
• RQ2 作为 $\delta_\Theta$ 的对称平方与交错平方构造出的 perverse sheaves $\delta_\pm$，在 perverse sheaf 范畴中是否简洁？
• RQ3 在四维情况下，$G(X,\Theta)$ 在 $\delta_\Theta$ 上的表示是否对应于 $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ 的标准表示？
• RQ4 在 $\sigma = -\mathrm{id}_X$ 作用下，$Y_x = \Theta_x \cap \Theta_{-x}$ 上的Hodge结构如何分解？
• RQ5 Mumford-Tate群是否可用于通过上同调计算对 $\delta_\pm$ 的cohomology进行分类？

主要发现

• 对于一般四维主极化阿贝尔簇，Tannakian群 $G(X,\Theta)$ 为 $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$，确认了猜想C。
• perverse sheaf $\delta_\Theta$ 在Tannakian范畴中对应于 $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ 的标准表示。
• Hodge结构变化 $\mathcal{V}_\pm$ 是简洁的，支持猜想A。
• 上同调 $\mathbb{H}^\bullet(X, \delta_\pm)$ 分解为 $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C}) \times \mathrm{Sp}(10,\mathbb{C})$ 的不可约表示，具体分解见表1。
• 对合 $\sigma = -\mathrm{id}_X$ 在表示 $B$ 上的作用平凡，通过Lefschetz不动点公式验证，使用了$\Theta$ 上的120个2阶挠点。
• 将 $\mathbb{H}^\bullet(X, \delta_\pm)$ 限制到四维曲线的雅可比簇，其结果与表2中计算的 $JC$ 上 $\delta_{a,b}$ 的Hodge结构一致。