[论文解读] The third homology of SL_2 of local rings

Kevin Hutchinson|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文使用改进的Bloch群构造，计算了在$\mathbb{Z}[1/2]$系数下局部环上$\mathrm{SL}_2$的第三同调群，将Suslin在域上的定理推广至局部整环。研究建立了离散赋值环的局部化正合序列，将$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_v), \mathbb{Z}[1/2])$与$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2])$及改进的剪裁合同群$\mathcal{RP}_1(k)$联系起来，使得对$\mathbb{Z}_p$（当$p \geq 11$时）可进行显式计算。主要贡献在于以$K^\mathrm{ind}_3(A)[1/2]$与$\mathcal{RP}_1(k)$的形式，对$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$给出了结构性描述，将经典结果推广至非域环。

ABSTRACT

We describe the third homology of SL_2 of local rings over Z[1/2] in terms of a refined Bloch group. We use this to derive a localization sequence for the third homology of SL_2 of certain discrete valuation rings, and to make explicit computations for p-adic integers and other local rings.

研究动机与目标

• 将$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2])$的Bloch-Wigner正合序列从域推广至具有有限剩余域的局部整环。
• 利用改进的Bloch群$\mathcal{RB}(A)$，描述局部域$A$的$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$。
• 为离散赋值环建立一个局部化正合序列，将$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_v), \mathbb{Z}[1/2])$与$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2])$及$\mathcal{RP}_1(k)$联系起来。
• 对$p \geq 11$显式计算$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_p), \mathbb{Z}[1/2])$，并证明其同构于$K^\mathrm{ind}_3(\mathbb{Q}_p)[1/2]$。

提出的方法

• 本文使用改进的剪裁合同群$\mathcal{RP}_1(k)$，其为$\mathcal{RP}(k)$的子模，以建模局部化映射的余核。
• 通过谱序列论证，将$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$与改进的Bloch群$\mathcal{RB}(A)$联系起来，证明边缘同态的像落在$\mathcal{RB}(A)[1/2]$中。
• 该方法依赖于$A^\times / (A^\times)^2$对同调的作用，其中$\mathcal{RB}(A)$是通过显式表示定义的$\mathbb{R}_A$-模。
• 应用Mirzaii与Mokari关于局部环上$K^\mathrm{ind}_3$的结果，在2可逆后推导出同构。
• 证明使用改进的交叉比映射识别出$H_3((L_\bullet)_{\mathrm{SL}_2(A)}) \cong \mathcal{RP}_1(A)$，并表明一个3阶类映射到$\mathcal{RP}_1(A)$的生成元。
• 证明$\left\langle\!\left\langle x \right\rangle\!\right\rangle D_A = \psi_1(x) - \psi_2(x)$对单位$x \in A^\times$成立，这意味着若$x = \pm \Phi(a)u^2$，则$\left\langle\!\left\langle x \right\rangle\!\right\rangle D_A = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用代数$K$-理论与剪裁合同群来描述局部环上$\mathrm{SL}_2$的第三同调群？
• RQ2 Bloch-Wigner正合序列在域上的结果是否可推广至具有有限剩余域的局部整环？
• RQ3 能否为离散赋值环的$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2)$构造一个局部化正合序列，使其与分式域和剩余域相关联？
• RQ4 对素数$p \geq 11$，$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_p), \mathbb{Z}[1/2])$的结构是什么？
• RQ5 $A^\times / (A^\times)^2$对$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$的作用如何与改进的Bloch群$\mathcal{RB}(A)$相关？

主要发现

• 对任意剩余域至少有10个元素的局部整环$A$，其第三同调群$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])$满足短正合序列：$0 \to \mathrm{tor}(\mu_A, \mu_A)[1/2] \to \mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2]) \to \mathcal{RB}(A)[1/2] \to 0$。
• 对任意剩余域足够大的局部整环$A$，自然映射$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(A), \mathbb{Z}[1/2])_{A^\times} \to K^\mathrm{ind}_3(A)[1/2]$是同构。
• 对满足$U_1 = U_1^2$及一个技术性3阶挠条件的离散赋值环$\mathcal{O}_v$（其剩余域为$k$），存在局部化正合序列：$0 \to \mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_v), \mathbb{Z}[1/2]) \to \mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(F), \mathbb{Z}[1/2]) \to \mathcal{RP}_1(k)[1/2] \to 0$。
• 改进的剪裁合同群$\mathcal{RP}_1(k)$可显式计算，且包含$\mathcal{RB}(k)$作为子模，相关例子见[5]。
• 对$p \geq 11$，有$\mathrm{H}_3(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_p), \mathbb{Z}[1/2]) \cong K^\mathrm{ind}_3(\mathbb{Q}_p)[1/2]$，表明该同调群同构于$p$-进域的不可约$K_3$群。
• 阶为3的类$C = C(x,y) \in \mathcal{RP}_1(A)$与$x,y$无关，且满足$3C = 0$，该类属于$\mathcal{RB}(A)$，从而确认边缘同态的像位于$\mathcal{RB}(A)[1/2]$中。