[论文解读] The Thom-Sebastiani theorem for the Euler characteristic of cyclic L-infinity algebras

Yunfeng Jiang|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了三维有限维上同调集中于一、二度的循环 $L_∞$-代数的欧拉示性数的 Thom-Sebastiani 类型公式。通过从上同调上的循环 $L_∞$-结构构造一个超势函数，作者利用解析 Milnor 纤维的平展上同调定义了欧拉示性数，证明了在直和下满足乘法公式，从而推导出卡拉比-丘三流形上贝雷德函数与动机 Donaldson-Thomas 不变量的 Joyce-Song 恒等式。

ABSTRACT

Let $L$ be a cyclic $L_\infty$-algebra of dimension $3$ with finite dimensional cohomology only in dimension one and two. By transfer theorem there exists a cyclic $L_\infty$-algebra structure on the cohomology $H^*(L)$. The inner product plus the higher products of the cyclic $L_\infty$-algebra defines a superpotential function $f$ on $H^1(L)$. We associate with an analytic Milnor fiber for the formal function $f$ and define the Euler characteristic of $L$ is to be the Euler characteristic of the étale cohomology of the analytic Milnor fiber. In this paper we prove a Thom-Sebastiani type formula for the Euler characteristic of cyclic $L_\infty$-algebras. As applications we prove the Joyce-Song formulas about the Behrend function identities for semi-Schur objects in the derived category of coherent sheaves over Calabi-Yau threefolds. A motivic Thom-Sebastiani type formula and a conjectural motivic Joyce-Song formulas for the motivic Milnor fiber of cyclic $L_\infty$-algebras are also discussed.

研究动机与目标

• 通过解析 Milnor 纤维定义循环 $L_\infty$-代数的几何欧拉示性数。
• 在这些代数的直和下建立欧拉示性数的 Thom-Sebastiani 公式。
• 将结果应用于证明卡拉比-丘三流形的导出范畴中半-舒尔对象的贝雷德函数的 Joyce-Song 恒等式。
• 提出并猜想基于动机 Milnor 纤维的 Joyce-Song 公式的动机版本。

提出的方法

• 通过 Kontsevich-Soibelman 转移定理，在上同调 $H^*(L)$ 上构造循环 $L_\infty$-代数结构。
• 从循环 $L_\infty$-结构在 $H^1(L)$ 上定义一个取值于 $\mathbb{C}[[t]]$ 上形式幂级数环的超势函数 $f$。
• 构造一个特殊的正式 $R$-概形 $\mathfrak{X} = \mathrm{spf}(R\{T\}[[S]]/ (f-t))$，其一般纤维 $\mathfrak{X}_\eta$ 位于单位圆盘的积中。
• 将解析 Milnor 纤维 $\mathfrak{F}_P(f)$ 定义为在特殊化映射下的原像，并令 $\chi(L)$ 为其平展上同调的欧拉示性数。
• 证明 Thom-Sebastiani 公式：对于上同调集中于一、二度的循环 $L_\infty$-代数，有 $(1 - \chi(L_1 \oplus L_2)) = (1 - \chi(L_1))(1 - \chi(L_2))$。
• 猜想动机 Thom-Sebastiani 公式，适用于动机 Milnor 纤维，将 Joyce-Song 恒等式推广至动机设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过平展上同调定义的循环 $L_\infty$-代数的欧拉示性数，是否在直和下满足 Thom-Sebastianis 性质？
• RQ2 卡拉比-丘三流形上贝雷德函数的 Joyce-Song 恒等式，能否从 $L_\infty$-代数的几何构造中推导而出？
• RQ3 是否存在与循环 $L_\infty$-代数相关的动机 Milnor 纤维的动机 Thom-Sebastiani 公式？
• RQ4 动机 Milnor 纤维在卡拉比-丘三流形的凝聚层导出范畴中的直和与扩张数据下如何行为？

主要发现

• 循环 $L_\infty$-代数 $L$ 的欧拉示性数 $\chi(L)$ 定义为该代数的超势函数 $f$ 的解析 Milnor 纤维的平展上同调的欧拉示性数。
• 本文证明了 Thom-Sebastiani 公式：$(1 - \chi(L_1 \oplus L_2)) = (1 - \chi(L_1))(1 - \chi(L_2))$，适用于上同调集中于一、二度的循环 $L_\infty$-代数。
• 该公式蕴含了卡拉比-丘三流形的导出范畴中凝聚层的半-舒尔对象的贝雷德函数的 Joyce-Song 恒等式。
• 提出了一个动机 Thom-Sebastiani 公式：$(1 - \mathcal{S}_{(0,0)}(E_1 \oplus E_2)) = (1 - \mathcal{S}_0(E_1))(1 - \mathcal{S}_0(E_2))$，适用于动机 Milnor 纤维。
• 该猜想表明，从动机 Hall 代数到动机量子环面的同态是 Poisson 同态，支持动机 Donaldson-Thomas 不变量的墙穿跃公式。