[论文解读] The Trouble with Quantum Bit Commitment

Dominic Mayers|ArXiv.org|Mar 11, 1996

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用 69

一句话总结

本文提供了首个完整的证明，表明Brassard-Crépeau-Jozsa-Langlois（BCJL）量子比特承诺协议是不安全的，尽管此前已有安全性的声称。通过利用量子纠缠和基于保真度的态判别，作者展示了爱丽丝可采用一种作弊策略，其成功概率至少为4/25，从而违反了比特承诺的绑定性质。

ABSTRACT

In a recent paper, Lo and Chau explain how to break a family of quantum bit commitment schemes, and they claim that their attack applies to the 1993 protocol of Brassard, Crépeau, Jozsa and Langlois (BCJL). The intuition behind their attack is correct, and indeed they expose a weakness common to all proposals of a certain kind, but the BCJL protocol does not fall in this category. Nevertheless, it is true that the BCJL protocol is insecure, but the required attack and proof are more subtle. Here we provide the first complete proof that the BCJL protocol is insecure.

研究动机与目标

• 提供一个严格且完整的证明，表明BCJL量子比特承诺协议是不安全的，以反驳此前关于其安全性的声称。
• 澄清Lo和Chau的攻击不适用于BCJL，但需要一种更微妙的攻击策略，因为该协议具有独特的结构。
• 证明不诚实的爱丽丝可以利用量子纠缠和态保真度成功作弊，从而违反绑定条件。
• 表明若比特承诺不安全，则依赖于比特承诺的量子协议（如无赖态交换）的安全性仍不确定。
• 确立即使BCJL的变体（如反转光子传播方向）也因更深层次的量子信息理论缺陷而失败。

提出的方法

• 使用Uhlmann定理对与承诺比特0和1相关的密度矩阵ρ₀和ρ₁进行纯化。
• 在联合系统（爱丽丝的辅助系统与鲍勃的量子比特）上定义一个联合测量M₁，该测量对应于鲍勃的验证测试T₁。
• 利用ρ₀与ρ₁之间的保真度F作为Bhattacharyya-Wootters距离的下界，证明F ≥ 1 − 2ε。
• 应用三角不等式和范数界，证明鲍勃接受不诚实承诺的概率存在下界。
• 利用若Pr(T₁(ok)|Φ=ϕ₁) ≥ 1−ε′，则Pr(T₁(ok)|Φ=ϕ₀) ≥ 1−ε′−4√ε的事实，得出非可忽略的作弊概率。
• 使用量子测量的等距和投影形式化方法，对爱丽丝和鲍勃测量在纠缠态上的联合作用进行建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于此前声称BCJL量子比特承诺协议是安全的，该协议能否被安全地实现？
• RQ2 为何Lo和Chau的攻击不适用于BCJL协议，而需要采用何种替代攻击策略？
• RQ3 爱丽丝在BCJL协议中，利用量子纠缠和态判别，所能达到的最大作弊概率是多少？
• RQ4 密度矩阵ρ₀与ρ₁之间的保真度如何与协议中作弊成功概率相关联？
• RQ5 BCJL协议的变体（如反转光子传播方向）是否也因更深层次的量子信息理论限制而同样不安全？

主要发现

• BCJL协议是不安全的，因为不诚实的爱丽丝可以制备一个纠缠态，使其作弊成功概率至少为4/25。
• 对于两个承诺比特的密度矩阵ρ₀和ρ₁，其保真度F满足F ≥ 1 − 2ε，其中ε为一个小误差参数。
• Bhattacharyya-Wootters距离BW的下界为1−2ε，且该下界与保真度F直接相关。
• 根据Uhlmann定理，存在ρ₀和ρ₁的纯化|ϕ₀⟩和|ϕ₁⟩，使得|⟨ϕ₀|ϕ₁⟩|² ≥ 1−2ε。
• 当爱丽丝实际承诺b=0但鲍勃接受不诚实承诺（b=1）的概率下界为1−ε′−4√ε，其中ε′=1/25。
• 这导致作弊概率至少为4/25，该值非可忽略，因此违反了比特承诺的绑定条件。