[论文解读] The universal thickening of the eld of real numbers

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用 14

一句话总结

本文通过三个步骤——完美化、Witt构造和完备化——引入实数的通用1-进厚化，该过程类比于p进数的构造。研究证明，阿基米德dequantization过程产生Viro的热带实超域TR，并恢复了R的通用pro-无穷小厚化R¹，为超域提供了p进数周期环的实数类比。

ABSTRACT

We dene the universal 1-adic thickening of the eld of real numbers. This construction is performed in three steps which parallel the universal perfection, the Witt construction and a completion process. We show that the transposition of the perfection process at the real archimedean place is identical to the \dequantization process and yields Viro’s tropical real hypereld T R. Then we prove that the archimedean Witt construction in the context of hyperelds allows one to recover a eld from a hypereld, and we obtain the universal pro-innitesimal thickening R1 of R. Finally, we provide the real analogues of several algebras used in the construction of the rings of p-adic periods. We

研究动机与目标

• 通过阿基米德类比p进数构造，构建实数域的通用1-进厚化。
• 证明在阿基米德位置的完美化过程的转置对应于dequantization，从而得到Viro的热带实超域TR。
• 证明在超域背景下对实数进行阿基米德Witt构造可恢复原始域，从而得到R的通用pro-无穷小厚化R¹。
• 为p进数周期环构造中使用的代数提供实数类比，将框架扩展至阿基米德情形。

提出的方法

• 将完美化、Witt构造和完备化三个步骤的过程适配至实数域的阿基米德情形。
• 在实数的阿基米德位置应用dequantization，以恢复Viro的热带实超域TR，作为完美化过程的转置。
• 在超域背景下使用Witt构造，从其超域对应物重构R，从而得到R¹。
• 构建p进数周期环理论中使用的代数的实数类比，将其结构扩展至阿基米德情形。
• 利用超域和pro-无穷小厚化，以通用方式建模R的无穷小形变。
• 建立dequantization与p进数完美化在阿基米德情形下的类比之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将完美化过程转置于阿基米德位置，其结果结构为何？
• RQ2 在超域背景下，Witt构造应用于实数时起何作用？
• RQ3 能否通过阿基米德类比p进数构造，构建R的通用pro-无穷小厚化R¹？
• RQ4 在此阿基米德框架下，p进数周期环代数的实数类比为何？
• RQ5 在阿基米德位置的dequantization如何与热带实超域TR的构造相关联？

主要发现

• 通过dequantization在实数阿基米德位置转置完美化过程，可得到Viro的热带实超域TR。
• 在超域背景下对实数进行阿基米德Witt构造，可重构原始域R，从而导出R的通用pro-无穷小厚化R¹。
• 该构造通过类比于p进数构造的三步过程，成功实现了R的通用1-进厚化。
• 在阿基米德情形下，成功构建了p进数周期环理论中使用的代数的实数类比。
• 该框架通过超域与厚化，建立了p进数周期理论在阿基米德情形下的连贯类比。