[论文解读] Theory of Anomalous Floquet Higher-Order Topology: Classification, Characterization, and Bulk-Boundary Correspondence

Rui-Xing Zhang, Zhi-Cheng Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 86被引用 5

一句话总结

本文提出了一套统一框架，用于分类和表征二维驱动系统中的异常弗洛凯高阶拓扑绝缘体（AFHOTIs），将其中稳健的角模式识别为时间演化算符相位谱中3D狄拉克/外尔型拓扑奇点的特征。关键成果是建立了一种高阶体-边界对应关系，将这些奇点与受对称性保护的零能角模式联系起来，该关系通过维度约化和具有$C_2$与$D_4$对称性的显式模型得到验证。

ABSTRACT

Periodically-driven or Floquet systems can realize anomalous topological phenomena that do not exist in any equilibrium states of matter, whose classification and characterization require new theoretical ideas that are beyond the well-established paradigm of static topological phases. In this work, we provide a general framework to understand anomalous Floquet higher-order topological insulators (AFHOTIs), the classification of which has remained a challenging open question. In two dimensions (2D), such AFHOTIs are defined by their robust, symmetry-protected corner modes pinned at special quasienergies, even though all their Floquet bands feature trivial band topology. The corner-mode physics of an AFHOTI is found to be generically indicated by 3D Dirac/Weyl-like topological singularities living in the phase spectrum of the bulk time-evolution operator. Physically, such a phase-band singularity is essentially a "footprint" of the topological quantum criticality, which separates an AFHOTI from a trivial phase adiabatically connected to a static limit. Strikingly, these singularities feature unconventional dispersion relations that cannot be achieved on any static lattice in 3D, which, nevertheless, resemble the surface physics of 4D topological crystalline insulators. We establish the above higher-order bulk-boundary correspondence through a dimensional reduction technique, which also allows for a systematic classification of 2D AFHOTIs protected by point group symmetries. We demonstrate applications of our theory to two concrete, experimentally feasible models of AFHOTIs protected by $C_2$ and $D_4$ symmetries, respectively. Our work paves the way for a unified theory for classifying and characterizing Floquet topological matters.

研究动机与目标

• 解决异常弗洛凯高阶拓扑绝缘体（AFHOTIs）的开放性挑战，其在体能带拓扑为 trivial 的情况下仍具有稳健的角模式。
• 建立超越传统拓扑能带理论的弗洛凯高阶拓扑绝缘体的高阶体-边界对应关系。
• 将角模式的拓扑起源识别为时间演化算符相位谱中3D狄拉克/外尔型奇点。
• 通过点群对称性（包括$C_n$和$D_n$群）系统分类AFHOTIs。
• 通过具有$C_2$和$D_4$对称性的具体模型，展示其实验可行性，实现相位能带奇点的探测。

提出的方法

• 使用维度约化将二维AFHOTIs映射到有效三维拓扑相，通过相位能带奇点实现分类。
• 将弗洛凯时间演化算符$U({\bf k},t)$相位谱中的拓扑奇点识别为异常高阶拓扑的关键指标。
• 应用旋转对称基变换对$C_4$对称性进行对角化，简化$U({\bf k},t)$的分析，并揭示狄拉克型点的结构。
• 在时间区间$T/4 < t \leq 3T/4$和$3T/4 < t \leq T$内，推导出$U_{2}({\bf k},t)$和$U_{3}({\bf k},t)$的解析表达式，以定位动力学狄拉克点（DDPs）。
• 通过时间演化矩阵中$a_i = -1$的条件建立DDP存在的判据，得出$U_2$满足$w_0 + w_1 \geq \sqrt{2}\pi$，$U_3$满足$w_1 + w_0 \geq \sqrt{2}\pi$，该条件与$\pi$角模式的相边界完全一致。
• 在DDP附近构造有效哈密顿量$h_D = i\log U$，表明其在$({\bf k}, t)$空间中描述一个3D狄拉克点，具有非平凡的色散关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在体能带拓扑为 trivial 的二维异常弗洛凯高阶拓扑绝缘体中，稳健角模式的拓扑起源是什么？
• RQ2 如何将体-边界对应关系推广至周期性驱动系统中的高阶拓扑相？
• RQ3 时间演化算符相谱中的3D狄拉克/外尔型奇点在表征异常弗洛凯拓扑中起什么作用？
• RQ4 如何对受点群对称性（如$C_2$和$D_4$）保护的AFHOTIs进行系统分类？
• RQ5 动力学狄拉克点的存在与受对称性保护的角模式出现之间有何关联？

主要发现

• 在$U({\bf k},t)$相谱中存在动力学狄拉克点（DDP）是$D_4$对称模型中受对称性保护的$\pi$-能量角模式存在的充要条件。
• 当$({\bf k}_0, t_0) = (\Gamma, t_0)$时，DDP在$w_0 + w_1 \geq \sqrt{2}\pi$时出现，该条件与$\pi$角模式的相边界完全一致，证明DDP是拓扑不变量。
• DDP附近的有效哈密顿量在$({\bf k}, t)$空间中表现为3D狄拉克点，其色散关系无法在任何静态3D晶格中实现，但类似于4D拓扑晶格绝缘体的表面物理。
• 对于$D_4$对称保护的AFHOTIs，DDP为四重简并，受$D_4$点群保护，其拓扑电荷受镜像对称性约束。
• 通过维度约化，实现了$D_n$对称保护的AFHOTIs的分类，得到可预测角模式数量及其对称性保护的高阶拓扑指标。
• 该理论通过显式模型得到验证：一个$C_2$对称的AFHOTI和一个$D_4$对称的AFHOTI，两者均在预测的相边界处表现出稳健的角模式和DDP。