[论文解读] Tight Results on Multiregister Fourier Sampling: Quantum Measurements for Graph Isomorphism Require Entanglement

Cristopher Moore, Alexander Russell|ArXiv.org|Nov 15, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用 3

一句话总结

该论文证明，针对图同构问题的高效量子算法，必须对对称群 S_n 的至少 Ω(n log n) 个陪集态进行纠缠测量，方法基于对张量积隐藏子群态上纠缠测量的信息提取进行一般性界约束。结果表明，单独或非纠缠测量无法提取足够信息，且该界在与图同构相关的对称群情形下已紧致到常数因子以内。

ABSTRACT

We establish a general method for proving bounds on the information that can be extracted via arbitrary entangled measurements on tensor products of hidden subgroup coset states. When applied to the symmetric group, the method yields an Omega(n log n) lower bound on the number of coset states over which we must perform an entangled measurement in order to obtain non-negligible information about a hidden involution. These results are tight to within a multiplicative constant and apply, in particular, to the case relevant for the Graph Isomorphism problem. Part of our proof was obtained after learning from Hallgren, Roetteler, and Sen that they had obtained similar results.

研究动机与目标

• 确定为从对称群 S_n 的隐藏子群中提取非可忽略信息，纠缠测量所需的最少陪集态数量。
• 弥合非阿贝尔群隐藏子群问题中信息论可行性与计算可行性之间的差距。
• 证明对陪集态进行单独或非纠缠测量不足以高效求解图同构问题。
• 建立一种通用方法，用于界定对陪集态张量积进行任意纠缠测量时的信息增益。
• 证明与图同构相关的对称群情形，需 Ω(n log n) 个寄存器，方能通过任意纠缠测量获得有用信息。

提出的方法

• 开发一种通用框架，用于界定对隐藏子群陪集态张量积进行任意纠缠测量时可提取的信息量。
• 将该方法应用于对称群 S_n，重点研究通过半直积 K = S_n ≀ ℤ₂ 与图同构相关的情形。
• 利用表示论，包括普朗切尔测度和不可约表示，刻画陪集态的结构。
• 将 '坏' 表示 Λ 定义为从 ρ⊗ρ 导出且满足 d_ρ < n^{n/5} 的表示，并利用概率与集中不等式方法对其贡献进行界定。
• 使用测量结果分布与均匀分布之间的总变差距离来量化信息增益。
• 利用马尔可夫不等式与尾部概率界，证明当且仅当 k = Ω(n log n) 时，测量结果分布才可能显著偏离均匀分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 为从对称群 S_n 中隐藏对合元提取非可忽略信息，纠缠测量所需的最少陪集态数量是多少？
• RQ2 对陪集态进行单独或非纠缠测量是否足以在隐藏子群框架下求解图同构问题？
• RQ3 对称群情形下，纠缠测量所需寄存器数的信息论界是否紧致？
• RQ4 高维表示上的普朗切尔测度如何影响隐藏子群问题的可解性？
• RQ5 该方法能否推广至普朗切尔测度大量集中于高维表示的其他群？

主要发现

• 论文证明了在对称群 S_n 中，为通过纠缠测量提取关于隐藏对合元的非可忽略信息，所需陪集态数量的下界为 Ω(n log n)。
• 该界紧致到乘法常数因子以内，即任何少于 Ω(n log n) 个寄存器的纠缠测量均无法获得有用信息。
• 当 k < C n log₂ n 且 C < 1/10 时，测量结果分布与均匀分布之间的期望总变差距离为 n^{-Ω(n)}，意味着信息增益可忽略。
• 分析表明，对陪集态进行单独或非纠缠测量无法高效求解图同构问题，因其无法提取足够信息。
• 该方法可普遍适用于普朗切尔测度大量集中于高维表示的群，此类群需 Θ(n log n) 个陪集态才能通过纠缠测量获得信息。
• 结果表明，任何高效的图同构量子算法都必须对至少 Ω(n log n) 个陪集态副本进行纠缠测量。