[论文解读] Time evolution of ADM and CMC center of mass in general relativity

Christopher Nerz|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文证明，在渐近平直的Schwarzschild时空中，通过常平均曲率（CMC）叶层定义的质心随时间的演化完全符合牛顿力学的预测：dz/dt = P/m，其中P为线性动量，m为质量。该文证明了在无需额外标量曲率条件的情况下，坐标系下的CMC质心与ADM质心完全重合，统一了广义相对论中两种主要的质心定义，并证实其动力学行为与牛顿极限一致。

ABSTRACT

It is shown by several authors going back to Huisken-Yau that asymptotically Schwarzschildean time-slices possess a unique foliation by stable constant mean curvature (CMC) spheres defining the so-called CMC center of mass. We analyze how the leaves of this foliation evolve in time under the Einstein equations. More precisely, we prove that, asymptotically, their time evolution is a translation induced by the quotient of their linear momentum and mass, as to be expected from the corresponding Newtonian setting. In particular, the definitions of mass and linear momentum defined by Arnowitt-Deser-Misner (ADM) are compatible with the interpretation of the CMC foliation as the center of mass of the time-slice by Huisken-Yau. Furthermore, we prove that the coordinate version of the center of mass by Arnowitt-Deser-Misner and the coordinate version of the CMC center of mass coincide - without additional conditions on the scalar curvature. This is even true in the sense of existence, i.e. if one of the two exists then so does the other.

研究动机与目标

• 在爱因斯坦方程下，建立渐近平直Schwarzschild时空中方程中CMC质心的时间演化。
• 证明CMC质心的演化满足dz/dt = P/m，与牛顿预期一致。
• 证明在无需对标量曲率施加额外条件的情况下，坐标系下的CMC质心与坐标系下的ADM质心完全重合。
• 证明一种质心定义的存在性可保证另一种定义的存在性。

提出的方法

• 利用渐近平直Schwarzschild超曲面的时空叶层，分析CMC叶层的时间演化。
• 在CMC球面上应用稳定性算子与谱分析，以控制其与欧几里得几何的偏离。
• 通过度量、外曲率及 lapse 函数的渐近展开与衰减估计，推导出时间演化方程。
• 通过构造一个人工的洛伦兹时空，利用曲面积分将CMC叶层与ADM质心联系起来。
• 通过在大坐标球面上对CMC与ADM质心进行渐近曲面积分比较。
• 依赖于度量及其导数的衰减假设（阶为1+ε），以控制渐近展开中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相对论中，CMC质心是否如牛顿公式dz/dt = P/m所预测的那样随时间演化？
• RQ2 在广义相对论中，是否无需施加标量曲率对称性条件，坐标系下的CMC质心与坐标系下的ADM质心就能重合？
• RQ3 一种质心定义的存在性是否足以保证另一种定义的存在性？
• RQ4 CMC叶层的时间演化是否可由ADM动量与质量表征？

主要发现

• CMC叶层的时间演化在渐近意义上等价于以P/m为速度的平移，证实了广义相对论中牛顿预期的正确性。
• 即使不假设标量曲率的渐近反对称性，坐标系下的CMC质心与坐标系下的ADM质心也完全重合。
• CMC质心的存在性蕴含ADM质心的存在性，反之亦然。
• CMC叶层的渐近行为由ADM动量与质量决定，误差界为O(1/σ^ε)，其中σ > σ₀。
• 本文为广义相对论中质心的牛顿极限提供了严格的数学依据，证实CMC与ADM质心在c → ∞极限下收敛于牛顿质心。
• 分析结果确认了CMC叶层作为物理质心的自洽性，其行为与ADM定义及牛顿动力学完全一致。