[论文解读] Towards a categorical boson-fermion correspondence

Tian Yin|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过引入一种改进的海森堡范畴，构建了费米子-玻色子对应的范畴化版本，该范畴作为柯瓦诺夫对海森堡代数范畴化的对偶。它将旋量算符从 Clifford 代数提升为 Fock 空间范畴化上的自函子，通过一系列莫代等价关系建立了海森堡与 Clifford 范畴之间的导出等价，从而在范畴与函子的层次上实现了经典费米子-玻色子对应的范畴化。

ABSTRACT

We construct the Heisenberg counterpart of a Clifford categorification. It is a modification of Khovanov's Heisenberg categorification. We express generators of the Heisenberg category as a complex of generators of the Clifford category. Certain vertex operators associated to the Clifford algebra are lifted to endofunctors of the Fock space categorification.

研究动机与目标

• 通过在 [16] 中 Clifford 范畴化的基础上定义海森堡代数的对偶范畴，构建一个范畴化的费米子-玻色子对应。
• 将 DG 代数构造从特征 2 推广到特征 0，从而为 Clifford 范畴化背后的几何结构提供表示论解释。
• 利用导出等价性，将 Clifford 代数中的旋量算符提升为 Fock 空间范畴化上的自函子。
• 通过一系列同调等价与导出范畴，建立海森堡代数 B 与 Clifford 代数 F 之间的导出莫代等价。

提出的方法

• 构造一个 $$\mathbf{k}$-代数 $B$，使其包含 $\bigoplus_{n=0}^\infty \mathbf{k}[S(n)]$ 作为子代数，其同伦范畴 $\mathcal{B} = \operatorname{Kom}(B)$ 范畴化了玻色子 Fock 空间。
• 将海森堡范畴 $\mathcal{DH}$ 定义为 $D(B^e)$ 的全满三角化张量子范畴，由 $B$、$P$ 和 $Q$ 生成，其中 $P$ 和 $Q$ 分别为诱导与限制函子对应的双模。
• 将 DG 代数 $R$ 从 $\mathbb{F}_2$ 推广到特征为零的 $\mathbf{k}$，其中 $R_0$ 为形式代数且与它的上同调同调等价，将 Clifford 范畴 $\mathcal{CL}$ 定义为 $D(R^e)$ 的全满三角化张量子范畴，由 $R$ 和 $T(i)$ 双模生成。
• 建立一系列莫代等价关系：$R_0 \leftrightarrow H(R_0) \leftrightarrow \widetilde{H}(R_0) \cong F \leftrightarrow B$，证明 $B$ 与 $F$ 莫代等价。
• 在 $D(R_0^e)$ 中构造两个对象 $\overline{Q}, \overline{P}$，使其作为 Clifford 生成元 $t_i$ 的表达式 $g(q)$ 和 $g(p)$ 的上拉，通过导出等价 $\mathcal{G}: D(B^e) \to D(R_0^e)$ 证明 $\mathcal{G}(Q) \cong \overline{Q}$ 且 $\mathcal{G}(P) \cong \overline{P}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过范畴化的海森堡代数与 Clifford 代数，将经典费米子-玻色子对应提升到范畴层次？
• RQ2 为使柯瓦诺夫的海森堡范畴化具有对称对偶，需对其实现哪些修改？
• RQ3 如何在导出范畴中将 Clifford 代数中的旋量算符提升为 Fock 空间范畴化上的自函子？
• RQ4 导出等价 $\mathcal{G}$ 在连接海森堡与 Clifford 范畴中起什么作用？它如何保持生成元的结构？

主要发现

• 海森堡范畴 $\mathcal{DH}$ 被构造为 $D(B^e)$ 的全满三角化张量子范畴，由 $B$、$P$ 和 $Q$ 生成，且具有无限长的伴随对链，扩展了柯瓦诺夫原始构造的范围。
• Clifford 范畴 $\mathcal{CL}$ 被定义为 $D(R^e)$ 的全满三角化张量子范畴，由 $R$ 和 $T(i)$ 生成，其在格罗滕迪克群中的类 $t_i = [T(i)]$ 满足 Clifford 代数关系 $t_i t_j + t_j t_i = \delta_{|i-j|,1} 1$。
• 导出等价 $\mathcal{G}: D(B^e) \to D(R_0^e)$ 满足 $\mathcal{G}(Q) \cong \overline{Q}$ 且 $\mathcal{G}(P) \cong \overline{P}$，其中 $\overline{Q}, \overline{P}$ 是 Clifford 生成元 $t_i$ 表达式 $g(q), g(p)$ 的上拉，从而证明了定理 5.3。
• 代数 $B$ 与 $F = \widetilde{H}(R_0)$ 莫代等价，且 $F$ 同构于一个 quiver 代数，从而在海森堡与 Clifford 范畴化之间建立了导出莫代等价。
• 生成函数 $\overline{t}(z) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} t_{2i+1} z^i$ 与 $t(z) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} t_{2i} z^{-i}$ 与 Clifford 代数相关联，且 $\mathcal{G}$ 对 $P$ 与 $Q$ 的作用对应于这些生成函数在 Fock 空间上的作用。
• 映射 $\mathbf{x}: K_0(F_n) \to V_F^{(0)}$ 满足 $\mathbf{x}([\mathcal{S}_n(P(\lambda))]) = \tau \circ \sum_{t=0}^n (-1)^{s_t} t_{2s_t}(\mathbf{x}(\lambda))$，且与对称函数作用 $S_n(\mathbf{x}(\lambda))$ 一致，从而确认了范畴化作用与经典费米子-玻色子对应的相容性。