[论文解读] Towards a Complete Classification of Symmetry-Protected Phases for Interacting Fermions in Two Dimensions

Meng Cheng, Zhen Bi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Topological Materials and Phenomena被引用 9

一句话总结

该论文通过将单位酉辫子张量范畴（UBTC）理论与G-扩张框架相结合，对具有总对称群$G \times \mathbb{Z}_2^f$的二维相互作用费米子对称保护拓扑（SPT）相进行了完整分类。结果表明，引入额外的$H^1(G, \mathbb{Z}_2)$结构可弥补此前群上同调方法的不足，完成分类，并将该框架扩展至时间反演对称系统。

ABSTRACT

Recently, it has been shown that two-dimensional bosonic symmetry-protected topological(SPT) phases with on-site unitary symmetry $G$ can be completely classified by the group cohomology class $H^3(G, \mathrm{U}(1))$. Later, group super-cohomology class was proposed as a partial classification for SPT phases of interacting fermions. In this work, we revisit this problem based on the mathematical framework of $G$-extension of unitary braided tensor category(UBTC) theory. We first reproduce the partial classifications given by group super-cohomology, then we show that with an additional $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ structure, a complete classification of SPT phases for two-dimensional interacting fermion systems for a total symmetry group $G imes\mathbb{Z}_2^f$ can be achieved. We also discuss the classification of interacting fermionic SPT phases protected by time-reversal symmetry.

研究动机与目标

• 实现对具有局域单位对称性的二维相互作用费米子SPT相的完整分类。
• 通过识别缺失的拓扑不变量，克服群上同调分类方法的局限性。
• 利用范畴论将费米子对称$\mathbb{Z}_2^f$与全局对称$G$统一于一个框架中。
• 将分类框架扩展至受时间反演对称保护的系统。

提出的方法

• 采用$G$-扩张单位酉辫子张量范畴（UBTC）的数学框架对SPT相进行分类。
• 将群上同调分类作为更广泛$G$-扩张构造的一个特例重现。
• 引入额外的$H^1(G, \mathbb{Z}_2)$结构，以弥补先前部分结果的不足，完成分类。
• 利用$G$-扩张形式化系统地编码费米子系统中的任意子、辫子统计和对称性作用。
• 通过分析时间反演对任意子及其耦合规则的作用，将该框架应用于时间反演对称系统。
• 通过与已知SPT不变量的一致性验证，并与现有分类进行比较，确保结果的可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在群上同调方法之外，为完成二维相互作用费米子SPT相的完整分类，还需何种额外的拓扑不变量？
• RQ2 如何将UBTC的$G$-扩张适配于描述具有$\mathbb{Z}_2^f$费米子数对称的费米子系统？
• RQ3 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$在区分不同费米子SPT相中起什么作用？
• RQ4 该$G$-扩张框架如何在费米子SPT相中纳入时间反演对称性？
• RQ5 是否可以在不依赖微扰或场论近似的情况下实现完整分类？

主要发现

• 引入$H^1(G, \mathbb{Z}_2)$结构可完整完成$G \times \mathbb{Z}_2^f$对称性下二维相互作用费米子SPT相的分类，解决了群上同调方法中的漏洞。
• UBTC的$G$-扩张成功将群上同调分类作为特例重现，验证了其一致性。
• 该框架为具有局域单位对称性的二维费米子系统中所有SPT相的分类提供了系统且数学严谨的方法。
• 该方法通过在UBTC结构中编码时间反演对任意子及其统计的作用，自然地纳入了时间反演对称性。
• 该分类完全是非微扰的，基于从辫子和耦合规则导出的拓扑不变量。
• 通过引入费米子数据和对称性数据，将任意子的$H^3(G, \mathrm{U}(1))$分类推广至费米子情形，实现了上同调框架的扩展。