[论文解读] Towards a theory of good SAT representations

Matthew Gwynne, Oliver Kullmann|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新的理论框架，用于通过从相对条件（例如弧一致性）转向基于层次类的绝对条件来评估SAT表示——具体而言，是$υ\mathcal{UC}_k$、$υ\mathcal{PC}_k$和$υ\mathcal{WC}_k$层次结构，其中良好数值由是否属于目标类来定义。主要贡献在于证明了这些层次结构在不引入新变量的情况下是严格递增的，这意味着更高层级能够以指数级更紧凑的方式表示某些布尔函数。

ABSTRACT

We aim at providing a foundation of a theory of "good" SAT representations F of boolean functions f. We argue that the hierarchy UC_k of unit-refutation complete clause-sets of level k, introduced by the authors, provides the most basic target classes, that is, F in UC_k is to be achieved for k as small as feasible. If F does not contain new variables, i.e., F is equivalent (as a CNF) to f, then F in UC_1 is similar to "achieving (generalised) arc consistency" known from the literature (it is somewhat weaker, but theoretically much nicer to handle). We show that for polysize representations of boolean functions in this sense, the hierarchy UC_k is strict. The boolean functions for these separations are "doped" minimally unsatisfiable clause-sets of deficiency 1; these functions have been introduced in [Sloan, Soerenyi, Turan, 2007], and we generalise their construction and show a correspondence to a strengthened notion of irredundant sub-clause-sets. Turning from lower bounds to upper bounds, we believe that many common CNF representations fit into the UC_k scheme, and we give some basic tools to construct representations in UC_1 with new variables, based on the Tseitin translation. Note that regarding new variables the UC_1-representations are stronger than mere "arc consistency", since the new variables are not excluded from consideration.

研究动机与目标

• 开发一种基于绝对条件而非相对条件的新理论框架，用于评估SAT表示。
• 形式化并分析$υ\mathcal{UC}_k$、$υ\mathcal{PC}_k$和$υ\mathcal{WC}_k$这组子句集层次结构，作为表示质量的度量。
• 研究在不使用新变量的情况下，是否能在层次结构的更高层级实现更优的压缩效果。
• 探讨弧一致性与传播完备性在表示复杂布尔函数时的局限性。
• 识别在何种情况下需要使用预言机或高级约化方法以实现高效的SAT表示。

提出的方法

• 引入$υ\mathcal{UC}_k$层次结构，其中子句集根据其通过$k$重嵌套单位子句传播检测不可满足性的能力进行分类。
• 提出$υ\mathcal{PC}_k$层次结构作为$υ\mathcal{UC}_k$的改进，每一级均引入传播完备性。
• 通过改进的宽度概念定义$υ\mathcal{WC}_k$层次结构，确保$υ\mathcal{UC}_k \subseteq \u03c5\mathcal{WC}_k$，并支持完整的基于归结的推理。
• 使用最小前提集和掺杂子句集构造困难实例，以证明层次结构之间存在严格分离。
• 应用极值组合学与触发超图，推导出在较低层次结构级别上表示规模的指数下界。
• 提出一种两阶段方法：首先使用新变量在更高层级的$υ\mathcal{UC}_k$类中构建表示，然后搜索等价但更小的无新变量表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在表示过程中不使用新变量时，$υ\mathcal{UC}_k$层次结构是否严格递增？
• RQ2 对于某些布尔函数，$υ\mathcal{WC}_k$层次结构是否能提供比$υ\mathcal{UC}_k$更紧凑的表示？
• RQ3 是否存在某些布尔函数，其在$υ\mathcal{UC}_k$中需要指数规模的表示，但在无新变量条件下可在$υ\mathcal{UC}_{k+1}$中实现多项式规模表示？
• RQ4 使用预言机或高级约化方法是否能够克服弧一致性在表示XOR子句或鸽巢原理等复杂布尔函数时的局限性？
• RQ5 在相对条件下，$υ\mathcal{WC}_k$的表达能力是否超过$υ\mathcal{PC}_1$，还是仍被限制在弧一致性范围内？

主要发现

• 在不使用新变量的情况下，$υ\mathcal{UC}_k$层次结构是严格递增的：对每个$k$，均存在布尔函数，其在$υ\mathcal{UC}_k$中需要指数规模的子句集，但在$υ\mathcal{UC}_{k+1}$中可实现多项式规模表示。
• $υ\mathcal{PC}_k$层次结构是$υ\mathcal{UC}_k$的严格细化，表明传播完备性提供了更细致的表示质量度量。
• $υ\mathcal{WC}_k$层次结构比$υ\mathcal{UC}_k$更具表达力，因为它支持完整的归结并捕捉基于宽度的归谬完备性。
• 鸽巢原理$\mathrm{PHP}^m_m$的标准表示具有$w$-硬度$m-1$，表明其无法由小规模的弧一致子句集表示。
• 对于XOR子句系统，本文推测不存在良好的弧一致表示，暗示需要使用预言机或更高层级的层次结构。
• 本文提供了证据表明，即使使用新变量，$υ\mathcal{WC}_k$的表达能力也可能被限制在弧一致性范围内，如猜想10.3所建议。