[论文解读] Trading inference effort versus size in CNF Knowledge Compilation

Matthew Gwynne, Oliver Kullmann|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文引入了一组CNF知识编译形式化体系——$π_k$、$π_k^c$ 和 $π_k^w$——以系统性地权衡推理效率与表示大小。证明了对于每个 $k$，存在在 $π_{k+1}$ 中具有多项式大小表示的布尔函数，但在 $π_k$ 中需要指数大小，从而在层级之间建立了严格的分离，并推进了关于分层知识编译表达能力的猜想。

ABSTRACT

Knowledge Compilation (KC) studies compilation of boolean functions f into some formalism F, which allows to answer all queries of a certain kind in polynomial time. Due to its relevance for SAT solving, we concentrate on the query type "clausal entailment" (CE), i.e., whether a clause C follows from f or not, and we consider subclasses of CNF, i.e., clause-sets F with special properties. In this report we do not allow auxiliary variables (except of the Outlook), and thus F needs to be equivalent to f. We consider the hierarchies UC_k <= WC_k, which were introduced by the authors in 2012. Each level allows CE queries. The first two levels are well-known classes for KC. Namely UC_0 = WC_0 is the same as PI as studied in KC, that is, f is represented by the set of all prime implicates, while UC_1 = WC_1 is the same as UC, the class of unit-refutation complete clause-sets introduced by del Val 1994. We show that for each k there are (sequences of) boolean functions with polysize representations in UC_{k+1}, but with an exponential lower bound on representations in WC_k. Such a separation was previously only know for k=0. We also consider PC < UC, the class of propagation-complete clause-sets. We show that there are (sequences of) boolean functions with polysize representations in UC, while there is an exponential lower bound for representations in PC. These separations are steps towards a general conjecture determining the representation power of the hierarchies PC_k < UC_k <= WC_k. The strong form of this conjecture also allows auxiliary variables, as discussed in depth in the Outlook.

研究动机与目标

• 为了形式化并分析基于CNF的知识编译形式化体系的层级，以实现高效的子句蕴含（CE）查询。
• 为知识编译中从更表达性强的形式化体系到更弱形式化体系编译时的最坏情况大小膨胀这一开放问题提供解答。
• 证明$π_k$层级中的每一级相较于前一级都具有严格更大的表达能力，即使在严格的大小约束下也是如此。
• 研究辅助变量在知识编译中的作用，区分变量量化中绝对条件与相对条件的区别。
• 为在SAT求解和自动推理系统中使用分层CNF形式化体系提供更强的理论基础。

提出的方法

• 引入形式化层级 $π_k$、$π_k^c$ 和 $π_k^w$ 作为CNF子句集的子类，其中每一级都支持多项式时间的子句蕴含（CE）查询。
• 采用掺杂子句集和极端树结构，构建具有受控最小前提集和不可满足性质的布尔函数。
• 应用触发超图和完全最小前提集，分析在单位传播和归结下子句集的难度。
• 利用最小不可满足性和传播完备性中的证明技术，推导出在低层级类中表示大小的指数下界。
• 在两种条件下比较形式化体系：绝对条件（允许在完整公式中使用辅助变量）和相对条件（仅关注原始变量）。
• 利用关于DNNF和Tseitin翻译的已知结果，将 $π_k[∃]$ 和 $π_k[∃]$ 类的表达能力置于上下文中进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在形式上分离 $π_k$ 层级中连续层级的知识编译表达能力？
• RQ2 从 $π_{k+1}$ 编译布尔函数到 $π_k$ 中等价表示时，最坏情况下的大小膨胀是多少？
• RQ3 在绝对条件与相对条件之间，辅助变量如何影响CNF表示的大小与推理效率？
• RQ4 是否存在在 $π_k$ 中具有多项式大小表示但在 $π_{k-1}$ 中需要指数大小的布尔函数，其中 $k \geq 1$？
• RQ5 $π_k$ 类能否用于模拟或捕获已知的知识编译语言（如DNNF），特别是在存在存在量化的条件下？

主要发现

• 对于每个 $k \in \mathbb{N}_0$，存在布尔函数序列，其在 $\mathcal{UC}_{k+1}$ 中具有多项式大小表示，但在 $\mathcal{WC}_k$ 中需要指数大小。
• 本文在 $\mathcal{UC}_{k+1}$ 与 $\mathcal{WC}_k$ 之间建立了严格分离，将此前仅对 $k=0$ 已知的分离结果推广至一般情况。
• 存在布尔函数在 $\mathcal{UC}$ 中具有多项式大小表示，但在 $\mathcal{PC}$ 中需要指数大小，从而强化了先前的结果。
• $\mathcal{PC}$ 在表示大小上严格小于 $\mathcal{UC}$，尽管两者都支持多项式时间的子句蕴含。
• 在绝对条件（允许使用辅助变量）下，$\mathcal{UC}[∃]$ 和 $\mathcal{UC}_k[∃]$ 不再保持对 VA、IM、EQ 或 SE 等查询的多项式时间可判定性，而 $\mathcal{UC}_k$ 则保持这一性质。
• 相对条件允许 $\exists\mathcal{UC}$ 转换为 $\exists\mathcal{PC}$，但这一性质不适用于所有类，凸显了各类在闭包性质上的结构性差异。