[论文解读] Towards an Intersection Chow Cohomology Theory for GIT Quotients

Dan Edidin, Matthew Satriano|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文为具有良好模空间结构的适当稳定、光滑的阿廷堆栈——特别是GIT商——建立了基础的交截查尔斯上同调理论，通过证明每个具有理系数的运算查尔斯类均可由堆栈上的拓扑强循环唯一地表示（模有理等价），从而实现这一目标。关键结果是：从有理Picard群到余维数一的运算查尔斯群的自然映射是一个同构。

ABSTRACT

We study the Fulton-Macpherson operational Chow rings of good moduli spaces of properly stable, smooth, Artin stacks. Such spaces are étale locally isomorphic to geometric invariant theory quotients of affine schemes, and are therefore natural extensions of GIT quotients. Our main result is that, with rational coefficients, every operational class can be represented by a so-called topologically strong cycle on the corresponding stack. Moreover, this cycle is unique modulo rational equivalence on the stack. Using out methods, we prove that if $X$ is the good moduli space of a properly stable, smooth, Artin stack then the natural map from the Picard group of $X$ to the first operational Chow group of $X$ is surjective with rational coefficients.

研究动机与目标

• 将交截上同调理论推广至作为GIT商出现的奇异代数簇，特别是具有正维稳定子群的簇。
• 为适当稳定、光滑的阿廷堆栈的良好模空间定义并研究运算查尔斯环。
• 建立运算类与满足关于稳定子维数分层的横截条件的几何循环之间的对应关系。
• 证明有理Picard群同构于余维数一的运算查尔斯群，从而解决奇异交截理论中的一个关键问题。

提出的方法

• 在堆栈上引入‘拓扑强’循环的概念，即关于良好模空间映射饱和且对约化封闭的子堆栈。
• 将相对查尔斯群 $A^k_{\text{tst}}(\mathcal{X}/X)$ 和 $A^k_{\text{st}}(\mathcal{X}/X)$ 定义为查尔斯群 $A^k(\mathcal{X})$ 的子群，分别由拓扑强循环和强循环生成。
• 利用堆栈按稳定子维数的分层，对代表运算类的循环施加横截性条件。
• 通过涉及有理等价的循环理论论证，证明拉回映射 $\pi^*: A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^*(\mathcal{X})_{\mathbb{Q}}$ 的单射性。
• 通过基于余维数、维数和奇点（包括有限商奇点和低维情形）的分情况分析，建立拉回映射的满射性。
• 应用关于线丛和第一陈类的结果，证明每个有理余维数一的运算类均可由一个线丛实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个良好模空间的适当稳定、光滑阿廷堆栈上的运算查尔斯类是否都能由堆栈上的拓扑强循环表示？
• RQ2 拉回映射 $\pi^*: A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^*(\mathcal{X})_{\mathbb{Q}}$ 在有理系数下是否为单射且满射？
• RQ3 对于此类模空间，自然映射 $\operatorname{Pic}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^1_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}}$, $L \mapsto c_1(L)$ 是否成为同构？
• RQ4 拓扑强循环是否足以表示所有运算类？何种条件可确保此类循环也是主要强循环？
• RQ5 若一个拓扑强循环与所有余留胚 $BG_x$ 的交为零，是否足以保证该循环属于 $X$ 的拉回像？

主要发现

• 每个 $A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}}$ 中的运算类都可由堆栈 $\mathcal{X}$ 上的拓扑强循环表示，且该循环在 $\mathcal{X}$ 上模有理等价唯一。
• 拉回映射 $\pi^*: A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^*(\mathcal{X})_{\mathbb{Q}}$ 是单射，且其像位于拓扑强循环子群中。
• 自然映射 $\operatorname{Pic}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^1_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}}$, $L \mapsto c_1(L)$ 是同构，表明有理第一陈类在余维数一的运算查尔斯群中生成整个群。
• 对于具有有限商奇点的堆栈，运算查尔斯环在拉回下的像包含于主要强循环群中。
• 在低余维数或小维数情形下，相对拓扑强与主要强查尔斯群在有理意义下一致，意味着此时拉回映射是满射。
• 若拓扑强循环 $\alpha$ 满足对所有余留胚 $BG_x$ 有 $\alpha \cdot BG_x = 0$，则 $\alpha$ 属于 $\pi^*$ 的像，该条件是必要的；本文询问该条件是否也充分。