[论文解读] TQFT with corners and tilting functors in the Kac-Moody case

Catharina Stroppel|ArXiv.org|May 3, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 46被引用 24

一句话总结

本文在可对称化 Kac-Moody 情况下建立了不可约分解的投影函子的分类，证明了 Frenkel 和 Malikov 的一个猜想。它表明这些函子由其在全投影倾斜对象上的作用完全确定，并通过与辫子 cobordism 相关的函子之间的自然变换，构造了一个带角的 3 维 TQFT。

ABSTRACT

We study projective functors (i.e. direct summands of compositions of translations through walls) for parabolic versions of $\cO$ as well as for integral regular blocks outside the critical hyperplanes in the symmetrizable Kac-Moody case. It turns out that in both situations the functors are completely determined by their restriction to the additive category generated by (the limit of) a `full projective tilting' object. We describe how projective functors in the parabolic setup give rise to an invariant of tangle cobordisms and formulate a conjectural direct connection to Khovanov homology. Our main result, however, is the classification theorem for indecomposable projective functors in the Kac-Moody case verifying a conjecture of F. Malikov and I. Frenkel.

研究动机与目标

• 在可对称化 Kac-Moody 情况下对不可约分解的投影函子进行分类，验证 Frenkel 和 Malikov 的一个猜想。
• 将 [Str05] 中的函子性辫子不变量推广至定向辫子及其 cobordism，从而构造一个带角的 3 维 TQFT。
• 通过组合结构，建立抛物范畴 O 中的投影函子与 Khovanov 同调之间的直接组合联系。
• 通过平移函子而非 Kazhdan-Lusztig 的张量积来定义投影函子，避免了先前证明中的漏洞。
• 证明投影函子完全由其在全投影倾斜对象的极限上的限制所决定。

提出的方法

• 将投影函子定义为在抛物和正则整数块的范畴 O 中穿过墙的平移函子复合的直和项。
• 利用结构定理，将函子的 Hom-空间与它们在全投影倾斜对象上的作用的 Hom-空间联系起来。
• 通过为辫子之间的 cobordism 分配自然变换，构造出定向辫子 cobordism 的函子性不变量。
• 证明该不变量在标量意义下是良定义的，从而得到一个带角的 3D TQFT。
• 应用倾斜等价性和中心理论，将函子与 Kac-Moody 设置下的倾斜模和投影对象联系起来。
• 在不可约分解的投影函子的同构类、不可约分解的倾斜对象以及对应块中不可约分解的投影对象之间建立双射。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kac-Moody 情况下的投影函子如何分类？这是否验证了 Frenkel 和 Malikov 的猜想？
• RQ2 抛物范畴 O 中的投影函子是否能完全由其在全投影倾斜对象上的作用决定？
• RQ3 是否存在投影函子范畴与 Khovanov 同调之间的直接组合联系？
• RQ4 函子之间的自然变换如何产生一个带角的 3 维 TQFT？
• RQ5 在 Kac-Moody 设置下，中心和倾斜等价性在投影函子的分类中起什么作用？

主要发现

• 证明了 Kac-Moody 情况下不可约分解投影函子的分类定理，验证了 Frenkel 和 Malikov 的一个猜想。
• 抛物范畴 O 中的投影函子完全由其在由全投影倾斜对象的极限生成的加法范畴上的限制所决定。
• 构造了一个带角的 3 维 TQFT，其中辫子 cobordism 诱导出函子之间的自然变换，形成一个在标量意义下的不变量。
• 通过结构定理，投影函子之间的 Hom-空间同构于它们在全投影倾斜模上的作用的 Hom-空间。
• 在不可约分解投影函子的同构类、不可约分解的倾斜对象以及对应块中不可约分解的投影对象之间存在自然双射。
• 投影函子满足 Krull-Remak-Schmidt 性质，保证其不可约分量的唯一分解。