[论文解读] Trace Finite Element Methods for PDEs on Surfaces

Maxim A. Olshanskii, Arnold Reusken|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 44被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种在无需表面拟合网格的情况下求解曲面上PDE的迹有限元方法（TraceFEM）。该方法利用背景四面体网格上体有限元函数在曲面上的迹来求解曲面PDE，对$P_1$单元实现了最优的$O(h^2)$收敛率，并可扩展至高阶单元及演化曲面，具有鲁棒的稳定性和精度。

ABSTRACT

In this paper we consider a class of unfitted finite element methods for discretization of partial differential equations on surfaces. In this class of methods known as the Trace Finite Element Method (TraceFEM), restrictions or traces of background surface-independent finite element functions are used to approximate the solution of a PDE on a surface. We treat equations on steady and time-dependent (evolving) surfaces. Higher order TraceFEM is explained in detail. We review the error analysis and algebraic properties of the method. The paper navigates through the known variants of the TraceFEM and the literature on the subject.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的、与网格无关的有限元方法，用于在无需表面拟合三角剖分的情况下求解曲面上的PDE。
• 解决曲面几何随时间变化时求解PDE的挑战，即在演化曲面上求解。
• 通过在固定背景网格上基于迹的有限元空间，实现高阶精度和高效计算。
• 确保即使曲面以任意方式穿过背景网格，方法仍具有稳定性和最优收敛性。
• 将方法扩展至时间依赖和耦合问题，包括对流-扩散方程和基于水平集的演化曲面。

提出的方法

• 使用一个包含曲面$\Gamma$的背景四面体网格$Ω \subset \mathbb{R}^3$，其与曲面几何无关。
• 将有限元空间定义为从体空间中连续$P_1$（或更高阶）函数在隐式定义的曲面$\Gamma_h$上的迹。
• 通过$C^2$水平集函数$\phi$的零水平集近似曲面$\Gamma$，其中$\Gamma_h = \{x \in \Omega : \phi_h(x) = 0\}$，且$\phi_h$为$\phi$的$P_1$插值。
• 在$\Gamma_h$上使用迹空间$V_h^\Gamma$对PDE的弱形式进行离散化，从而在多边形近似曲面$\Gamma_h$上建立Galerkin格式。
• 在由背景网格诱导的曲面三角剖分$\mathcal{F}_h$上进行数值积分，该方法可实现$O(h^2)$的曲面逼近精度。
• 对于时间依赖问题，将TraceFEM与时间离散化格式（如隐式欧拉法、BDF2）结合，并使用最近点法或快速行进法在时间步之间实现解的扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种用于曲面PDE的有限元方法，避免对表面拟合网格的需求，并在曲面与网格任意相交时仍保持鲁棒性？
• RQ2 对于隐式定义的曲面，TraceFEM在$P_1$及更高阶单元下的最优收敛率是多少？
• RQ3 该方法如何扩展至时间依赖和演化曲面，特别是在发生拓扑变化时？
• RQ4 当与半拉格朗日或特征线时间积分方法结合时，TraceFEM的稳定性和收敛性如何？
• RQ5 该方法能否模块化地与双曲型求解器（如快速行进法）结合，以实现空间-时间上高效、准确的解扩展？

主要发现

• $P_1$ TraceFEM在静止曲面上对拉普拉斯-贝尔特拉米方程实现了最优的$O(h^2)$收敛率，分别在$L^2$范数和能量范数下。
• 该方法对任意曲面-网格相交具有鲁棒性，因为误差界仅依赖于背景网格的形状正则性。
• 对于时间依赖曲面，当与隐式时间推进格式结合并正确地将解扩展至窄带区域时，方法保持了稳定性和收敛性。
• 数值实验表明，采用BDF2时间积分与$P_1$ TraceFEM结合时，对演化曲面实现了空间-时间上的二阶收敛率。
• 该方法成功处理了经历拓扑变化的曲面，如引用文献中的数值结果所示。
• 结合TraceFEM与双曲型求解器（如快速行进法）的混合方法，实现了模块化、高效且精确的跨时间步解扩展。