[论文解读] Traces on finite W-algebras

Pavel Etingof, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文计算了经典有限W代数的零阶泊松上同调，以及其量子对应物的零阶霍奇上同调，表明两者均同构于在任意中心特征标下约化后的相应施普林格纤维的上同调。这为量子W代数的不可约有限维表示的数量提供了一个上界，与Dodd早期的结果一致。

ABSTRACT

We compute the space of Poisson traces on a classical W-algebra modulo an arbitrary central character, i.e., linear functionals on such an algebra invariant under Hamiltonian derivations. This space identifies with the top cohomology of the corresponding Springer fiber. As a consequence, we deduce that the zeroth Hochschild homology of the corresponding quantum W-algebra modulo a central character identifies with the top cohomology of the corresponding Springer fiber. This implies that the number of irreducible finite-dimensional representations of this algebra is bounded by the dimension of this top cohomology, which was established earlier by C. Dodd using reduction to positive characteristic. Finally, we prove that the entire cohomology of the Springer fiber identifies with the so-called Poisson-de Rham homology (defined previously by the authors) of the classical W-algebra modulo a central character.

研究动机与目标

• 计算经典有限W代数的零阶泊松上同调及其量子形变的零阶霍奇上同调。
• 建立当模去任意中心特征标后，这两个上同调空间同构于相应施普林格纤维的上同调群。
• 通过特征零的几何方法，为量子W代数不可约有限维表示的数量提供一个上界，此前该结果是通过正特征方法证明的。
• 表明在中心约化后的经典W代数的泊松-de Rham上同调同构于施普林格纤维在互补次数的上同调。
• 通过D-模理论与哈密顿约化，统一表示论与几何不变量。

提出的方法

• 利用Hotta-Kashiwara方法，通过生成元与关系式表示在幂零锥上的施普林格D-模。
• 应用作者先前关于通过D-模与哈密顿导子刻画零阶泊松上同调的结果。
• 利用格罗滕迪克-施普林格解消与施普林格对应，将施普林格纤维的上同调与W代数不变量联系起来。
• 通过形变量子化与Rees代数构造，将量子W代数与其经典极限联系起来。
• 应用Nest-Tsygan与Brylinski关于量子代数的霍奇上同调及其与泊松上同调关系的结果。
• 利用施普林格解消族的拓扑平凡性，将一般纤维与特殊纤维的上同调维数等同。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典有限W代数的零阶泊松上同调的结构是什么？
• RQ2 量子W代数的零阶霍奇上同调如何与施普林格纤维的几何相关？
• RQ3 能否利用几何不变量来界定量子W代数不可约有限维表示的数量？
• RQ4 中心约化后的经典W代数的泊松-de Rham上同调与施普林格纤维上同调之间有何关系？
• RQ5 W代数的同调不变量在中心约化与形变量子化下如何表现？

主要发现

• 在任意中心特征标下约化后，经典有限W代数的零阶泊松上同调同构于相应施普林格纤维的上同调群。
• 在任意中心特征标下约化后，量子W代数的零阶霍奇上同调同构于同一施普林格纤维的上同调群。
• 具有固定中心特征标的量子W代数的不可约有限维表示的数量，其上界由施普林格纤维上同调群的维数决定。
• 中心约化后的经典W代数的泊松-de Rham上同调同构于施普林格纤维在互补次数的上同调。
• 对于一般的中心特征标，量子W代数的霍奇上同调同构于经典W代数的泊松上同调与形变参数幂级数环的张量积。
• 施普林格纤维的上同调在中心约化族中维数恒定，表明同调不变量在一般形变下保持不变。