[论文解读] Transformation Double Categories Associated to 2-Group Actions

Jeffrey C. Morton, Roger Picken|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文引入了一个用于2-群作用于范畴上的变换双范畴 $\boldsymbol{\rm C}/\!\!/{\mathcal G}$，将变换群胚推广至高阶范畴。该双范畴在 $\boldsymbol{\rm Cat}$ 内部构造，通过水平与垂直2-范畴捕捉局部对称性，其中2-群在自身上的伴随作用是一个关键示例。主要贡献在于一种完全编码2-群作用对称结构的图示化内部构造方法。

ABSTRACT

Transformation groupoids associated to group actions capture the interplay between global and local symmetries of structures described in set-theoretic terms. This paper examines the analogous situation for structures described in category-theoretic terms, where symmetry is expressed as the action of a 2-group G (equivalently, a categorical group) on a category C. It describes the construction of a transformation groupoid in diagrammatic terms, and considers this construction internal to Cat, the category of categories. The result is a double category C//G which describes the local symmetries of C. We define this and describe some of its structure, with the adjoint action of G on itself as a guiding example.

研究动机与目标

• 将群作用于集合上的变换群胚构造推广至2-群作用于范畴的情形。
• 在 $$\boldsymbol{\rm Cat}$$ 内部构造一个双范畴结构，以捕捉2-群作用下范畴的局部对称性。
• 分析所得双范畴的结构，特别是通过2-群在自身上的伴随作用。
• 证明完整的对称信息被编码于双范畴中，而不仅存在于其水平或垂直2-范畴切片中。

提出的方法

• 通过在范畴范畴中内化变换群胚构造，构建变换双范畴 $$\boldsymbol{\rm C}/\!\!/{\mathcal G}$$。
• 将2-群 $${\mathcal G}$$ 表示为交叉模 $(G, H, \rhd, \partial)$，以实现对态射与2-态射的显式计算。
• 利用 $G\ltimes H$ 的群胚结构及 $G$ 对 $H$ 的作用，定义双范畴中正方形的水平与垂直复合。
• 以2-群在自身上的伴随作用为指导性示例，推导出 $H(\mathcal{G}/\!\!/{\mathcal G})$ 与 $V(\mathcal{G}/\!\!/{\mathcal G})$，即水平与垂直2-范畴的结构。
• 建立2-态射与 $\operatorname{ker}(\partial) \subset H$ 的对应关系，用于水平2-范畴；并建立与共轭作用下不动点的对应关系，用于垂直2-范畴。
• 证明由于2-态射与作用结构之间的相互作用，完整双范畴所编码的信息多于单独的水平或垂直2-范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将群作用于集合上的变换群胚构造推广至2-群作用于范畴的情形？
• RQ2 当2-群作用于范畴 $$\boldsymbol{\rm C}$$ 时，双范畴 $$\boldsymbol{\rm C}/\!\!/{\mathcal G}$$ 的内部结构是什么？
• RQ3 双范畴 $$\boldsymbol{\rm C}/\!\!/{\mathcal G}$$ 的水平与垂直2-范畴如何反映2-群作用的对称性？
• RQ4 2-群在自身上的伴随作用在塑造所得双范畴结构方面起什么作用？
• RQ5 为何必须使用完整的双范畴来捕捉完整的对称数据，而不能仅依赖水平或垂直2-范畴切片？

主要发现

• 变换双范畴 $$\boldsymbol{\rm C}/\!\!/{\mathcal G}$$ 作为 $$\boldsymbol{\rm Cat}$$ 内部的双范畴被构造出来，将群胚构造推广至2-群作用。
• 对于由交叉模 $(G, H, \rhd, \partial)$ 分类的2-群 $${\mathcal G}$ 的伴随作用，水平2-范畴 $H(\mathcal{G}/\!\!/{\mathcal G})$ 的对象为 $g \in G$，态射为 $(g, \eta) \in G\ltimes H$，2-态射为 $((g,\eta), \chi)$，其目标为 $(g, \eta \cdot (\chi g \rhd \chi^{-1}))$，其复合通过 $\operatorname{ker}(\partial) \subset H$ 中的乘法实现。
• 垂直2-范畴 $V(\mathcal{G}/\!\!/{\mathcal G})$ 的对象为 $g \in G$，态射为 $(\gamma, g) \in G \times G$，从 $(\gamma, g)$ 到 $(\gamma', g)$ 的2-态射存在当且仅当 $\chi^{-1}$ 是共轭作用 $\gamma g \gamma^{-1} \rhd \chi^{-1} = \chi^{-1}$ 的不动点，其复合由 $H$ 中的乘法定义。
• 双范畴 $$\mathcal{G}/\!\!/{\mathcal G}$$ 所编码的信息多于单独的水平或垂直2-范畴，因为许多正方形无法被任一切片所捕获。
• 将 $$\boldsymbol{\rm C}/\!\!/{\mathcal G}$$ 构造为 $$\boldsymbol{\rm Cat}$$ 内部的双范畴，提供了2-群作用于范畴所诱导的局部对称性的完整图示描述。
• 双范畴的结构完全由交叉模数据 $(G, H, \rhd, \partial)$ 决定，且伴随作用作为典范示例，揭示了完整的对称结构。