[论文解读] Transience of algebraic varieties in linear groups and application to generic Zariski density

Richard Aoun|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文建立了线性群中非初等随机游走从真代数子簇的指数逃逸率，特别是在 $SL_2(\mathbb{R})$ 和 $\mathbb{R}$ 上的半单分裂代数群中。通过基于随机矩阵乘积和Kingman次可加遍历定理的概率方法，证明了此类游走几乎必然离开任意固定的真代数子簇，从而为由Zariski稠密子群上独立游走生成的随机子群提供了通用Zariski稠密性结果。

ABSTRACT

We study the transience of algebraic varieties in linear groups. In particular, we show that a "non elementary" random walk in SL_2(R) escapes exponentially fast from every proper algebraic subvariety. We also treat the case where the random walk is on the real points of a semi-simple split algebraic group and show such a result for a wide family of random walks. As an application, we prove that generic subgroups (in some sense) of linear groups are Zariski dense.

研究动机与目标

• 研究非初等随机游走在线性群中对代数子簇的瞬时性。
• 将Kesten关于返回概率的指数衰减结果推广至从真代数子簇逃逸的情形。
• 建立半单代数群中通用Zariski稠密性的概率准则。
• 提供一种非算术的概率替代方法，以研究子群结构，替代算术筛法。

提出的方法

• 利用随机矩阵乘积理论和Kingman次可加遍历定理，在Weyl房间定义Lyapunov向量 $Liap(\mu)$。
• 应用Cartan分解和指数矩条件，以确保强收敛性和大偏差估计。
• 采用表示论构造，将Zariski非稠密性编码为 $\mathbf{G} \times \mathbf{G}$ 上迹泛函的零点集。
• 将Zariski稠密性问题约化为迹泛函沿随机游走消失的概率衰减问题。
• 利用次可加遍历定理，证明迹泛函的归一化对数几乎必然收敛到一个正的Lyapunov指数。
• 应用大偏差不等式，证明游走停留在真子簇内的概率呈指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $SL_2(\mathbb{R})$ 上的非初等随机游走是否以指数速率逃逸出每一个真代数子簇？
• RQ2 从代数子簇的逃逸是否可推广至 $\mathbb{R}$ 上的半单分裂代数群？
• RQ3 在半单群的两个Zariski稠密子群上，一对独立随机游走的Zariski稠密性是否为通用性质？
• RQ4 该概率方法能否在不依赖算术性或有限生成性的情况下，替代算术筛法以证明通用Zariski稠密性？

主要发现

• 对于 $SL_2(\mathbb{R})$ 矩阵元上的任意非常值多项式 $P$，$\frac{1}{n}\log|P(S_n)|$ 几乎必然收敛到一个正数 $\lambda > 0$，这意味着从任意真代数子簇呈指数逃逸。
• 对于每个真代数子簇 $\mathcal{V}$，有 $\limsup \mathbb{P}(S_n \in \mathcal{V})^{1/n} < 1$，证明了瞬时性。
• 在 $SL_2(\mathbb{R})$ 中，随机游走停留在真代数子簇内的概率呈指数快速衰减。
• 对于 $SL_d(\mathbb{R})$ 中的两个Zariski稠密子群 $\Gamma_1, \Gamma_2$，存在具有指数矩的测度，使得由两个独立随机游走生成的子群为Zariski稠密且自由的概率至少为 $1 - c^n$，其中 $c \in (0,1)$。
• 在 $SL_2(\mathbb{R})$ 中，结果可进一步强化：对于任意此类测度 $\mu_1, \mu_2$，Zariski非稠密性的概率呈指数衰减。
• 该方法给出了Tits备选定理的一个概率性证明，表明自由且Zariski稠密的子群通常由随机游走生成。