[论文解读] Transmission eigenvalues and far field invisibility for a finite number of incident/scattering directions

Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnel+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用 2

一句话总结

本文研究在仅测量有限组入射波与远场散射方向时，声散射中的传输本征值。证明在某些物理条件下，传输本征值构成离散集合，并提出一种构造性方法，通过使相对散射矩阵恒为零，设计出对远场测量不可见的散射体，从而实现近似不可见散射体的数值构造。

ABSTRACT

Abstract. We investigate a time harmonic acoustic scattering problem by a penetrable inclusion with compact support embedded in the free space. We consider cases where an observer can produce incident plane waves and measure the far field pattern of the resulting scattered field only in a finite number of directions. In this context, we say that a wavenumber is a transmission eigenvalue if the corresponding relative scattering matrix has a non trivial kernel. Under certain assumptions on the physical coefficients of the inclusion, we show that the transmission eigenvalues form a (possibly empty) discrete set. Then, in a second step, for a given real wavenumber and a given domain D, we present a constructive tech-nique to prove that there exist inclusions supported in D for which the corresponding relative scattering matrix is null. These inclusions have the important property to be impossible to detect from far field measurements. The approach leads to a numerical algorithm which is described at the end of the paper and which allows to provide examples of (approximated) invisible inclusions. Key words. Interior transmission problem, invisibility, energy identities, asymptotic analysis, relative scattering matrix. 1

研究动机与目标

• 分析当仅可测量有限组入射波与远场方向时，声散射中的传输本征值。
• 在有限测量设置下，确立传输本征值形成离散集合的条件。
• 开发一种构造性方法，设计可通过远场测量不可检测的穿透性包含体，方法为确保相对散射矩阵消失。
• 提供一种数值算法，用于生成此类不可见包含体的近似示例。

提出的方法

• 在有限方向测量约束下，将传输本征值定义为相对散射矩阵具有非平凡核的波数。
• 利用能量恒等式与渐近分析，推导在紧支集包含体背景下散射矩阵及其核的性质。
• 建立包含体物理系数（如密度与声速）的条件，以确保传输本征值的离散性。
• 构造支持在给定区域 D 内的包含体，使得相对散射矩阵恒为零，从而实现对远场测量的隐身。
• 基于构造性方法推导一种数值算法，用于计算不可见包含体的近似示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅可测量有限组入射波与远场方向时，传输本征值在何种条件下构成离散集合？
• RQ2 能否在有限测量配置下构造出相对散射矩阵恒为零的包含体？
• RQ3 为通过散射矩阵零化实现隐身，对包含体的系数与支撑的物理和几何约束为何？
• RQ4 如何设计一种数值算法，以生成此类不可见包含体的近似示例？

主要发现

• 在包含体物理系数的适当假设下，传输本征值构成离散集合。
• 对于任意给定的实波数与区域 D，均存在支持在 D 内的包含体，使得相对散射矩阵恒为零。
• 由于散射矩阵消失，这些包含体无法通过远场测量检测，表明其在远场中具有隐身特性。
• 此类包含体的构造可通过基于能量恒等式与渐近分析的系统性方法实现。
• 推导出一种数值算法，可实现不可见包含体近似示例的计算。