[论文解读] Trap models with vanishing drift: Scaling limits and aging regimes

Nina Gantert, Peter Moerters+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究了整数格点上的陷阱模型，其漂移渐近趋于零，根据漂移衰减速率的不同，建立了三种不同情形下的标度极限和衰老行为。在临界中间情形下，识别出一种新的极限过程——带漂移的 Fontes-Isopi-Newman 扩散过程，并表明在所有漂移趋于零的情形下均呈现次线性衰老（γ < 1），这与常数漂移情形下 γ = 1 的情况形成对比。

ABSTRACT

We discuss the long term behaviour of trap models on the integers with asymptotically vanishing drift, providing scaling limit theorems and ageing results. Depending on the tail behaviour of the traps and the strength of the drift, we identify three different regimes, one of which features a previously unobserved limit process.

研究动机与目标

• 理解在具有重尾陷阱环境且漂移趋于零的 Z 上连续时间随机游走的长期行为。
• 根据漂移趋于零的速度，对这类模型的标度极限进行分类。
• 通过时间区间长度为 t^γ 时过程保持静止的概率中的指数 γ 来刻画衰老行为。
• 在之前未被观测到的临界情形下，识别出一种新的极限过程——带漂移的 Fontes-Isopi-Newman 扩散过程。
• 证明当漂移趋于零时，衰老行为为次线性（γ < 1），这与常数漂移情形下 γ = 1 的情况形成对比。

提出的方法

• 该模型定义为在 Z 上的连续时间最近邻随机游走，位于位置 i 的停留时间与独立同分布的重尾陷阱变量 τ_i 成比例，其尾指数为 α ∈ (0,1)。
• 通过非对称跳跃率 p^N = 1/2(1 + μ/N^β) 引入漂移，其中 μ ≥ 0 且 β ≥ 0，使得当 N → ∞ 时漂移渐近趋于零。
• 通过时间缩放 X^N_t = X_{Nt} 推导出标度极限，并基于 β 值将情形分为三类：缓慢（β < 1）、快速（β > 1）和临界（β = 1）。
• 利用标度陷阱环境的点过程收敛性与尺度函数的一致收敛性，建立对极限过程的收敛性。
• 通过粒子在时间 t 时所处陷阱的渐近深度，推导出衰老指数 γ，使用缩放后陷阱大小 τ_{X^N_t}/N^{1/(α+1)} 的分布。
• 利用关于点过程收敛性与过程位置弱收敛性的引理，证明缩放后陷阱大小收敛于极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 根据漂移衰减速率的不同，Z 上具有渐近趋于零漂移的陷阱模型的标度极限是什么？
• RQ2 在漂移以特定速率趋于零的临界情形下，是否会涌现出一种新的极限过程？
• RQ3 衰老行为——通过 P(X_t = X_{t+s} 对所有 0 ≤ s ≤ t^γ) 中的指数 γ 衡量——在漂移趋于零与常数漂移情形下有何不同？
• RQ4 在所有漂移趋于零的情形下，衰老指数 γ 是否严格小于 1？这与常数漂移情形下 γ = 1 的情况是否形成对比？
• RQ5 能否利用粒子所处陷阱的渐近深度来刻画衰老指数 γ？

主要发现

• 在漂移缓慢趋于零的区域（β < 1），缩放后的陷阱模型依分布收敛于稳定子调和过程的倒数，与常数漂移情形下的结果一致。
• 在漂移快速趋于零的区域（β > 1），缩放后的过程收敛于 Fontes-Isopi-Newman 扩散过程，与无漂移情形下的极限相同。
• 在临界中间区域（β = 1），缩放后的过程收敛于一种新的极限过程：带漂移的 Fontes-Isopi-Newman 扩散过程，此前尚未被识别为标度极限。
• 在所有漂移趋于零的情形下，衰老指数 γ 严格小于 1，表明存在次线性衰老，而常数漂移情形下 γ = 1。
• 粒子所处陷阱深度 τ_{X^N_t}/N^{1/(α+1)} 的渐近分布依分布收敛于随机变量 ρ(Fin^θ_t)，该变量决定了衰老指数 γ。
• 当 t → ∞ 时，衰老概率 P(X_t = X_{t+s} 对所有 0 ≤ s ≤ t^γ) 收敛于 (0,1) 内的某个值，证实了在所有漂移趋于零的情形下均存在非平凡的衰老行为。