[论文解读] Tropical Principal Component Analysis and its Application to Phylogenetics

Ruriko Yoshida, Leon Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文在热带几何背景下提出了两种新颖的热带主成分分析（PCA）方法：一种基于Stiefel热带线性空间，另一种基于热带单纯形，两者均通过最小化到数据点的热带距离实现。应用于系统发育学时，这些方法成功实现了树空间数据的降维，其中基于热带单纯形的方法保持了超距性（ultrametricity）特性，并在顶复门基因组数据中揭示了拓扑结构。

ABSTRACT

Principal component analysis is a widely-used method for the dimensionality reduction of a given data set in a high-dimensional Euclidean space. Here we define and analyze two analogues of principal component analysis in the setting of tropical geometry. In one approach, we study the Stiefel tropical linear space of fixed dimension closest to the data points in the tropical projective torus; in the other approach, we consider the tropical polytope with a fixed number of vertices closest to the data points. We then give approximative algorithms for both approaches and apply them to phylogenetics, testing the methods on simulated phylogenetic data and on an empirical dataset of Apicomplexa genomes.

研究动机与目标

• 在热带射影环面中开发经典PCA的热带类比，以实现高维数据的降维。
• 通过利用热带几何在树空间数据中的结构，应对大规模系统发育数据集分析的挑战。
• 提供计算上可行的近似算法以计算热带PCA，同时保留超距性等关键生物学特性。
• 探究热带PCA结构是否表现出类似于经典PCA的嵌套或层次包含特性。
• 评估两种热带PCA方法在模拟和真实系统发育数据集上的性能，特别是针对顶复门基因组数据。

提出的方法

• 通过在热带射影环面上寻找与数据点在热带度量下最近的(s−1)维子空间，定义基于Stiefel热带线性空间的热带PCA。
• 使用热带度量 $ d_{tr}(v,w) = \max_{i<j} |v_i - w_i - v_j + w_j| $ 衡量数据点与候选子空间之间的距离。
• 将最佳拟合Stiefel热带线性空间问题表述为最小化平方热带距离之和，并利用热带体积在 $ \mathbb{R}^e/\mathbb{R}\mathbf{1} $ 中对 e 个点给出精确解。
• 针对一般情况，提出一种基于随机采样三个点以初始化最优矩阵搜索的启发式算法。
• 通过s个点的热带凸包定义基于热带单纯形的热带PCA，以最小化到数据点的总热带距离。
• 将最佳拟合热带单纯形问题重新表述为混合整数规划问题，并开发一种基于迭代细化和采样的近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过Stiefel热带线性空间在热带射影环面上有意义地扩展主成分分析？
• RQ2 基于热带单纯形的PCA是否在投影后仍能保持系统发育树中的关键生物学特性（如超距性）？
• RQ3 在模拟和真实系统发育数据集上，两种热带PCA方法在性能和可解释性方面如何比较？
• RQ4 是否存在类似于经典PCA中主成分嵌套的嵌套或层次包含结构？
• RQ5 在何种条件下，由一组数据点定义的Stiefel热带线性空间会被包含在原始树空间的热带线性空间中？

主要发现

• 利用热带体积，推导出在 $ \mathbb{R}^e/\mathbb{R}\mathbf{1} $ 中对 e 个点的最佳拟合热带超平面（即 (e−1)维空间）的精确解。
• 基于热带单纯形的PCA方法保持了超距性：投影后的等距树仍为超距树，从而支持对树拓扑分布的分析。
• 在顶复门基因组数据集中，投影后的树拓扑分布在热带单纯形的不同区域，表明按拓扑结构实现了有意义的聚类。
• 对Stiefel和热带单纯形PCA的近似算法成功应用于模拟和真实系统发育数据，证明了其可行性。
• 最佳拟合热带结构并非唯一；当最佳拟合Stiefel空间不包含热带费马-韦伯点时，存在另一个同样优美的替代拟合方案。
• 在维度方面，热带PCA方法表现良好：s个点的Stiefel线性空间和热带单纯形的维度均不超过 s−1，避免了BHV度量凸包带来的高维问题。