[论文解读] Tulczyjew's Triplet for Lie Groups II: Dynamics

Oğul Esen, Hasan Gümral|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用 15

一句话总结

本文将图尔茨基耶夫的三元组形式化推广至李群上的拉格朗日与哈密顿动力学，将平凡化后的欧拉-拉格朗日方程与哈密顿方程表示为全局平凡化辛空间中的拉格朗日子流形。通过辛约化推导出欧拉-庞加莱方程与李-泊松方程，建立广义勒让德变换，并引入平凡化与约化动力学的莫尔斯族，为李群上的对称机械系统提供统一的几何框架。

ABSTRACT

Taking configuration space as a Lie group, the trivialized Euler-Lagrange and Hamilton's equations are obtained and presented as Lagrangian submanifolds of the trivialized Tulczyjew's symplectic space. Euler-Poincaré and Lie-Poisson equations are presented as Lagrangian submanifolds of the reduced Tulczyjew's symplectic space. Tulczyjew's generalized Legendre transformations for trivialized and reduced dynamics are constructed.

研究动机与目标

• 将图尔茨基耶夫的辛三元组形式化推广至配置空间为李群的机械系统。
• 在全局平凡化的图尔茨基耶夫空间 $^1TT^*G$ 中，将平凡化后的欧拉-拉格朗日方程与哈密顿方程表示为拉格朗日子流形。
• 将欧拉-庞加莱与李-泊松动力学表示为约化辛空间 $\mathfrak{z}_d = \mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}$ 中的拉格朗日子流形。
• 通过莫尔斯族在 $G \circledS (\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*)$ 上构造平凡化与约化动力学之间的广义勒让德变换。
• 为退化系统提供几何框架，其动机源于等离子体动力学（维拉斯-泊松方程）。

提出的方法

• 采用第一类全局平凡化，将李群作用提升至迭代切丛与余切丛，识别出 $TG \simeq G \circledS \mathfrak{g}$ 与 $T^*G \simeq G \circledS \mathfrak{g}^*$。
• 通过 $^1TT^*G$ 中的辛结构 $^1\Omega_{T^*G}^\flat$，利用拉格朗日子流形表示平凡化动力学。
• 在 $G \circledS (\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*)$ 上通过莫尔斯族构造广义勒让德变换，其纤维化分别位于 $\mathfrak{g}^*$ 与 $\mathfrak{g}$。
• 对平凡化三元组实施辛约化，得到约化辛空间 $\mathfrak{z}_d = \mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}$，以 $T^*\mathfrak{g}$ 与 $T^*\mathfrak{g}^*$ 替代 $\mathfrak{z}_l$ 与 $\mathfrak{z}_h$，以恢复标准辛结构。
• 利用拉格朗日-狄拉克导数 $\mathfrak{d}l: \mathfrak{g} \to \mathfrak{z}_d$ 与哈密顿-狄拉克导数 $\mathfrak{d}h: \mathfrak{g}^* \to \mathfrak{z}_d$，生成欧拉-庞加莱与李-泊松动力学的拉格朗日子流形。
• 通过 $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*$ 上的莫尔斯族 $E^{h \to l}$ 与 $E^{l \to h}$ 建立逆勒让德变换，将约化动力学与其对偶形式相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过第一类全局平凡化将图尔茨基耶夫的三元组形式化适配于李群配置空间？
• RQ2 平凡化后的欧拉-拉格朗日方程与哈密顿方程在辛空间 $^1TT^*G$ 中的几何表示为何为拉格朗日子流形？
• RQ3 欧拉-庞加莱与李-泊松方程如何作为约化辛空间 $\mathfrak{z}_d$ 中的拉格朗日子流形出现？
• RQ4 莫尔斯族在通过广义勒让德变换编码平凡化与约化动力学对偶性中起何作用？
• RQ5 图尔茨基耶夫三元组的辛约化如何保持李群上机械系统的几何结构？

主要发现

• 在 $G \circledS \mathfrak{g}$ 上的平凡化欧拉-拉格朗日方程表示为拉格朗日子流形 $\left\{g, \frac{\delta \bar{L}}{\delta \xi}, \xi, T^*R_g \frac{\delta \bar{L}}{\delta g}\right\} \subset {}^1TT^*G$。
• 在 $G \circledS \mathfrak{g}^*$ 上的平凡化哈密顿方程表示为 $\left\{g, \mu, \frac{\delta \bar{H}}{\delta \mu}, -T^*R_g \frac{\delta \bar{H}}{\delta g}\right\} \subset {}^1TT^*G$。
• 在 $\mathfrak{g}$ 上的欧拉-庞加莱方程作为拉格朗日子流形 $\left\{ad_{\xi}^* \frac{\delta l}{\delta \xi}, \frac{\delta l}{\delta \xi}, \xi\right\} \subset \mathfrak{z}_d$ 出现。
• 在 $\mathfrak{g}^*$ 上的李-泊松方程表示为 $\left\{ad_{\frac{\delta h}{\delta \mu}}^* \mu, \mu, \frac{\delta h}{\delta \mu}\right\} \subset \mathfrak{z}_d$。
• 莫尔斯族 $E^{\bar{L} \to \bar{H}}(g, \xi, \mu) = \bar{L}(g, \xi) - \langle \mu, \xi \rangle$ 编码了从平凡化拉格朗日动力学到 $G \circledS (\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*) \to G \circledS \mathfrak{g}^*$ 上哈密顿动力学的勒让德变换。
• 欧拉-庞加莱动力学的逆勒让德变换由 $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^* \to \mathfrak{g}$ 上的莫尔斯族 $E^{h \to l}(\xi, \mu) = \langle \mu, \xi \rangle - h(\mu)$ 生成。