[论文解读] Tur\'an numbers for disjoint paths

Long‐Tu Yuan, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文确定了所有 $ n $ 下不相交路径 $ F_m = P_{k_1} igcup ⋯ ⋯ ⋯ P_{k_m} $ 的图兰数 $ ex(n, F_m) $，扩展了以往仅限于大 $ n $ 的结果。通过一种新颖的结构方法，本文证实了 Bushaw 与 Kettle 关于 $ ex(n, k \cdot P_l) $ 的猜想，并识别出具有相同图兰数的非同构图，解决了 Erdős 与 Simonovits 提出的一个长期问题。

ABSTRACT

The Tur\\'{a}n number of a graph $H$, $ex(n,H)$, is the maximum number of edges in any graph of order $n$ which does not contain $H$ as a subgraph. Lidick\\'{y}, Liu and Palmer determined $ex(n, F_m)$ for $n$ sufficiently large and proved that the extremal graph is unique, where $F_m$ is disjoint paths of $P_{k_1}, \\ldots, P_{k_m}$ [Lidick\\'{y},B., Liu,H. and Palmer,C. (2013). On the Tur\\'{a}n number of forests. Electron. J. Combin. 20(2) Paper 62, 13 pp]. In this paper, by mean of a different approach, we determine $ex(n, F_m)$ for all integers $n$ with minor conditions, which extends their partial results. Furthermore, we partly confirm the conjecture proposed by Bushaw and Kettle for $ex(n, k\\cdot P_l)$ [Bushaw,N. and Kttle,N. (2011) Tur\\'{a}n numbers of multiple paths and equibipartite forests. Combin. Probab. Comput. 20 837-853]. Moreover, we show that there exist two family graphs $F_m$ and $F_m^{\\prime}$ such that $ex(n, F_m)=ex(n, F_m^{\\prime})$ for all integers $n$, which is related to an old problem of Erd\\H{o}s and Simonovits.

研究动机与目标

• 将 Lidický、Liu 与 Palmer 之前针对足够大 $ n $ 的结果扩展至所有 $ n $，以确定不相交路径 $ F_m $ 的图兰数 $ ex(n, F_m) $。
• 证实 Bushaw 与 Kettle 关于 $ k \cdot P_l $（即 $ l $ 个顶点的路径的 $ k $ 个不相交副本的并集）的图兰数的猜想。
• 研究是否存在非同构图 $ F_m $ 与 $ F_m' $，使得 $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $ 对所有 $ n $ 成立，从而解决 Erdős 与 Simonovits 提出的一个长期问题。

提出的方法

• 对避免不相交路径的极值图进行结构分析，重点在于连通分量分解与顶点邻域约束。
• 使用函数 $ [n, k, l] $，通过将 $ n $ 分解为 $ (m-1) + t(l-1) + r $ 的整数分拆方式，计算路径并集的图兰数。
• 应用极值图论技术，包括完全多部图与图的并集运算，以构造和界定极值图。
• 基于图 $ G - P_k $ 中与路径 $ P_k $ 相邻的顶点数进行分类讨论，利用边数与禁止子图的性质。
• 通过反证法证明：任何边数超过所提议图兰数的图必然包含禁止的路径配置。
• 使用函数 $ [n, m] $（表示单条路径 $ P_m $ 的图兰数）来比较与组合极值结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ n $（而不仅足够大的 $ n $），不相交路径 $ P_{k_1}, \dots, P_{k_m} $ 的并集 $ F_m $ 的图兰数 $ ex(n, F_m) $ 的精确值是什么？
• RQ2 Bushaw 与 Kettle 关于 $ ex(n, k \cdot P_l) $ 的猜想是否对所有 $ n $ 成立？能否使用与原始证明不同的方法加以证实？
• RQ3 是否存在两个非同构图 $ F_m $ 与 $ F_m' $，使得对所有 $ n $ 都有 $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $？若存在，其条件是什么？
• RQ4 对于 $ F_m = \bigcup_{i=1}^m P_{k_i} $，其完整的极值图族是什么？它们如何依赖于路径长度的奇偶性？
• RQ5 当路径并集的总顶点数相对于 $ n $ 较小或较大时，极值图结构如何变化？

主要发现

• 本文确定了所有 $ n $ 下的图兰数 $ ex(n, F_m) $，而不仅限于足够大的 $ n $，扩展了 Lidický、Liu 与 Palmer 的结果。
• Bushaw 与 Kettle 关于 $ ex(n, k \cdot P_l) $ 的猜想被证实对所有 $ n $ 成立，其极值图被表征为 $ K_{k-1} \cup t \cdot K_{l-1} \cup K_r $ 或根据奇偶性而定的并集构造。
• 本文识别出两个非同构图 $ F_m $ 与 $ F_m' $，使得对所有 $ n $ 都有 $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $，为 Erdős–Simonovits 关于非同构图图兰数的问题提供了新例证。
• 对于 $ F_m $ 的极值图，其结构为 $ K_{\sum k_i - 1} \cup Ex(n - \sum k_i + 1, P_{k_m}) $，或为完全图与大独立集补图的并集，具体取决于路径长度的奇偶性。
• 当所有 $ k_i $ 为奇数时，其并集构造中包含一个 $ K_2 $；当路径长度混合或全为偶数时，其并集使用 $ \overline{K}_{n - \sum \lfloor k_i/2 \rfloor + 1} $，其中 $ c=1 $ 若所有 $ k_i $ 为奇数，否则 $ c=0 $。
• 最大图兰数由 $ \max\left\{[n,k_1,k_1], [n,k_1+k_2,k_2], \dots, [n,\sum k_i, k_m], [n,\sum \lfloor k_i/2 \rfloor] + c\right\} $ 给出，其中 $ c $ 按上述定义。