[论文解读] Twisted cscK metrics and Kähler slope stability

Jacopo Stoppa|ArXiv.org|Apr 2, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文引入了一类上同调障碍，用于解决凯勒流形上的扭曲常数量曲率凯勒（cscK）方程，将Ross-Thomas的斜率稳定性推广至一般的凯勒类和有效除子。当扭曲项消失时，该障碍退化为斜率稳定性，从而构造出新的非代数、斜率不稳定的流形，并在绝热类中阻碍了典型型三流形的cscK度量存在性。

ABSTRACT

We introduce a cohomological obstruction to solving the constant scalar curvature Kähler (cscK) equation twisted by a semipositive form, appearing in works of Fine and Song-Tian. Geometrically this gives an obstruction for a manifold to be the base of a holomorphic submersion carrying a cscK metric in certain ``adiabatic'' classes. In turn this produces many new examples of general type threefolds with classes which do not admit a cscK representative. When the twist vanishes our obstruction extends the slope stability of Ross-Thomas to effective divisors on a Kähler manifold. Thus we find examples of non-projective slope unstable manifolds.

研究动机与目标

• 将Ross-Thomas的斜率稳定性障碍从极化代数簇推广至具有效除子的一般凯勒流形。
• 为扭曲cscK度量的存在性建立一个上同调障碍，推广至cscK情形。
• 将该障碍应用于全纯纤维丛的绝热极限，构造出无cscK度量的典型型三流形的新例子。
• 构造非代数凯勒流形，其为斜率不稳定，且在某些凯勒类中不存cscK度量。

提出的方法

• 引入扭曲cscK方程：$ S(\omega) - \Lambda_\omega \alpha = \widehat{S}_\alpha $，其中$ \alpha $为半正定的(1,1)-形式。
• 为有效除子$ D $定义Seshadri常数$ \epsilon(D, \Omega) $，用于度量凯勒类$ \Omega $相对于$ D $的正性。
• 利用Chen-Tian给出的K-能量下界，推导出扭曲cscK方程解存在的必要条件。
• 将该障碍应用于全纯纤维丛中的绝热类$ \Omega_r = c_1(L) + r\pi^*\Omega_B $，将总空间上扭曲cscK度量的解与基空间上的解联系起来。
• 通过Voisin的非代数凯勒流形上的投影丛构造非代数例子，利用Mumford对向量丛的不稳定化方法。
• 应用变形理论（Demailly-Eckl-Peternell）证明所得流形无代数变形。

实验结果

研究问题

• RQ1 cscK度量的斜率稳定性障碍能否从极化代数簇推广至具有效除子的一般凯勒流形？
• RQ2 在给定凯勒类中，扭曲cscK方程存在解的上同调条件是什么？
• RQ3 全纯纤维丛中的绝热极限是否会导致总空间上cscK度量的障碍？若是，其数值条件为何？
• RQ4 能否构造出非代数凯勒流形，使其为斜率不稳定，且在自然凯勒类中不存cscK度量？
• RQ5 是否存在典型型三流形在绝热类中不存cscK度量？何种数值不变量构成此障碍？

主要发现

• 本文建立了扭曲cscK方程求解的上同调障碍，当扭曲项消失时，该障碍退化为斜率稳定性。
• 对于绝热类$ \Omega_r = a c_1(K_{Z|S''}) + r\pi^*\Omega_s $中的典型型三流形，当$ a > 0 $，$ s \ll 1 $，$ r \gg 0 $时，不存在cscK度量。
• 该构造产生非代数凯勒流形，其为斜率不稳定，且在类$ \mathcal{O}_{\mathbb{P}}(1) + r\pi^*\Omega_M $中不存cscK度量，当$ r \gg 0 $时。
• 所得流形$ X = \mathbb{P}(\mathcal{O}_M(-E_q) \oplus \mathcal{O}_M) $无代数变形，由投影丛的变形理论证明。
• 障碍源于当$ r $较大时，Seshadri常数$ \epsilon(\mathbb{P}(F), \Omega_r) = 1 $，其与Mumford对向量丛的不稳定化相关。
• 该方法通过将斜率稳定性推广至凯勒流形的一般凯勒类，证实了Ross-Thomas的猜想。