[论文解读] Twisted Dedekind Type Sums Associated with Barnes' Type Multiple Frobenius-Euler l-Functions

Mehmet Cenkci, Yılmaz Şimşek+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 37被引用 70

一句话总结

本文通过Barnes型多重Frobenius-Euler $ l $-函数引入了新的扭曲Dedekind型和，并利用生成函数与 $ p $-进 $ q $-Volkenborn积分推导出其互反律。主要贡献在于建立了涉及Frobenius-Euler多项式与Dirichlet特征的和的广义互反律，将经典Dedekind和理论推广至扭曲和高阶情形，应用于 $ p $-进 $ L $-函数与Hardy-Berndt型和。

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct new Dedekind type sums. We construct generating functions of Barnes' type multiple Frobenius-Euler numbers and polynomials. By applying Mellin transformation to these functions, we define Barnes' type multiple l-functions, which interpolate Frobenius-Euler numbers at negative integers. By using generalizations of the Frobenius-Euler functions, we define generalized Dedekind type sums and prove corresponding reciprocity law. We also give twisted versions of the Frobenius-Euler polynomials and new Dedekind type sums and corresponding reciprocity law. Furthermore, by using p-adic q-Volkenborn integral and twisted (h,q)-Bernoulli functions, we construct p-adic (h,q)-higher order Dedekind type sums. By using relation between Bernoulli and Frobenius-Euler functions, we also define analogues of Hardy-Berndt type sums. We give some new relations related to to these sums as well.

研究动机与目标

• 通过广义Frobenius-Euler函数与扭曲 $ l $-函数定义新的Dedekind型和。
• 为这些和建立互反律，将经典结果推广至高阶与扭曲情形。
• 将Frobenius-Euler多项式与 $ p $-进 $ q $-Volkenborn积分联系起来，推导出 $ p $-进 $ (h,q) $-高阶Dedekind和。
• 从Frobenius-Euler框架构造Hardy-Berndt型和的类比，并将其与已知的算术和关联。
• 通过展示其独特的函数与代数结构，将所提出的和与现有类型（如Carlitz、Ota、Nagasaka）区分开来。

提出的方法

• 构造Barnes型多重Frobenius-Euler数与多项式的生成函数。
• 对这些生成函数应用Mellin变换，定义插值Frobenius-Euler数于负整数的Barnes型多重 $ l $-函数。
• 利用Frobenius-Euler函数 $ \bar{H}_n(x,u) $ 与非1的代数参数 $ u \neq 1 $，定义扭曲Dedekind型和 $ S_{n,u}(h,k) $。
• 通过组合二项式展开与Frobenius-Euler数 $ H_n(u) $ 的性质，推导出 $ S_{n,u}(h,k) $ 的互反律。
• 引入使用Dirichlet特征 $ \chi $ 的特征扭曲和 $ S_{n,u^k}(h,k|\chi) $，并证明包含 $ H_{n,\chi}(u) $ 的广义互反律。
• 利用 $ p $-进 $ q $-Volkenborn积分定义 $ p $-进 $ (h,q) $-高阶Dedekind和，并将其与Bernoulli函数和Frobenius-Euler函数关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Frobenius-Euler函数定义扭曲Dedekind型和？其解析性质为何？
• RQ2 这些新和的互反律形式为何？其如何推广经典Dedekind和互反律？
• RQ3 特征扭曲和 $ S_{n,u^k}(h,k|\chi) $ 如何与 $ p $-进 $ L $-函数及Frobenius-Euler型 $ l $-函数关联？
• RQ4 所提出的和与现有类型（如Carlitz、Apostol或Ota型）有何不同？
• RQ5 能否从Frobenius-Euler函数构造Hardy-Berndt和的类比？其与已知算术和有何关联？

主要发现

• 为扭曲Dedekind和 $ S_{n,u}(h,k) $ 建立了新的互反律，涉及 $ k^n S_{n,u^k}(h,k) $ 与 $ h^n S_{n,u^h}(k,h) $ 的对称组合，显式包含Frobenius-Euler数 $ H_j(u^k) $ 与 $ H_{n-j}(u^h) $ 的项。
• 特征扭曲和 $ S_{n,u^k}(h,k|\chi) $ 满足一个包含 $ H_{n+1,\chi}(u) $ 项及关于 $ a,b $ 的双重求和（带特征加权的Frobenius-Euler函数）的互反律。
• 当 $ u = -1 $ 时，和 $ S_{n,-1}(h,k) $ 可表示为Bernoulli函数 $ \overline{B}_{n+1}(x) $ 的形式，从而导出Hardy-Berndt和 $ HB_{n,0}(h,k) $ 与 $ HB_{n,1}(h,k) $ 的新类比。
• 当 $ k $ 为奇数时，在 $ h $ 满足特定奇偶性条件时，和 $ HB_{n,0}(h,k) $ 与 $ HB_{n,1}(h,k) $ 分别与已知的Berndt型和 $ s_{n+1}(h,k) $ 与 $ s_{n+1}(h,2k) $ 一致。
• 所提出的和与Carlitz型或Ota型Dedekind和不同，因其基于Frobenius-Euler函数而非仅Frobenius-Euler数。
• 通过 $ p $-进 $ q $-Volkenborn积分的构造，导出了 $ p $-进 $ (h,q) $-高阶Dedekind和，将其与 $ p $-进 $ L $-函数及 $ q $-特殊函数联系起来。