[论文解读] Twisted jets, motivic measure and orbifold cohomology

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文引入了德利涅-芒福德叠上的扭曲喷射，以将动机积分推广到具有商奇点的轨道簇。通过在扭曲的∞-喷射空间上定义动机测度，作者证明了具有Gorenstein商奇点的两个双有理极小模型具有相同的轨道簇上同调与霍奇结构，通过叠理论技术将康特维奇的动机积分推广至奇异空间。

ABSTRACT

We introduce the notion of twisted jet on a Deligne-Mumford stack. and study the motivic measure on the space of the twisted $\infty$-jets on a smooth Deligne-Mumford stack. As an application, we prove that two birational minimal models with Gorenstein quotient singularities have the same orbifold cohomology with Hodge structure.

研究动机与目标

• 使用叠理论方法将动机积分推广至具有商奇点的奇异代数簇。
• 为光滑德利涅-芒福德叠上的扭曲∞-喷射空间定义新的动机测度。
• 在Gorenstein商奇点存在的情况下，建立动机测度与轨道簇上同调之间的对应关系。
• 证明具有Gorenstein商奇点的双有理极小模型具有相同的轨道簇上同调与霍奇结构。

提出的方法

• 引入扭曲∞-喷射作为可表示的态射 $\pi: \mathscr{D} \to \mathscr{X}$，其中 $\mathscr{D}$ 是一个具有粗模空间 $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[[t]]$ 的光滑德利涅-芒福德叠，并包含 $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}((t))$ 作为开子叠。
• 在扭曲喷射的粗模空间 $\overline{\mathscr{L}_{\infty}\mathscr{X}}$ 上构造一个取值于霍奇结构的格罗滕迪克环的动机测度 $\mu_{\mathscr{X}}$。
• 利用动机测度的变换法则，将 $\mathscr{X}$ 上的测度与解析中的相对canonical除子联系起来。
• 通过构造一个具有平凡一般稳定子的光滑德利涅-芒福德叠 $\mathscr{X}$，其粗模空间为奇异代数簇 $X$，将该理论应用于Gorenstein商奇点，从而使得轨道簇上同调得以定义。
• 通过扭曲版本的赋值准则，证明 $\mathscr{X}$ 上的动机测度在保持相对canonical除子的双有理变换下保持不变。
• 建立惯性叠 $I(\mathscr{X})$ 与纤维积 $\mathscr{Y} \times_{\mathscr{X}} I(\mathscr{X})$ 之间的范畴等价，表明当 $\mathscr{X}$ 光滑时 $I(\mathscr{X})$ 也是光滑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用叠理论方法将动机积分推广至具有商奇点的奇异代数簇？
• RQ2 在Gorenstein商奇点存在的情况下，扭曲喷射上的动机测度如何与轨道簇上同调相关联？
• RQ3 具有Gorenstein商奇点的双有理极小模型是否具有同构的轨道簇上同调与霍奇结构？
• RQ4 当通常的喷射空间因缺乏严格赋值准则而失效时，扭曲喷射在恢复动机测度中起什么作用？
• RQ5 惯性叠 $I(\mathscr{X})$ 如何编码 $\mathscr{X}$ 的轨道簇上同调？

主要发现

• 光滑德利涅-芒福德叠 $\mathscr{X}$ 上的扭曲∞-喷射空间上的动机测度 $\mu_{\mathscr{X}}$ 取值于霍奇结构的格罗滕迪克环。
• 对于具有粗模空间 $X$ 的光滑德利涅-芒福德叠 $\mathscr{X}$，扭曲∞-喷射空间 $\overline{\mathscr{L}_{\infty}\mathscr{X}}$ 是一个良定义的代数空间，支持动机测度。
• 动机测度 $\mu_{\mathscr{X}}$ 在保持相对canonical除子的双有理变换下保持不变，将康特维奇定理推广至轨道簇情形。
• 具有Gorenstein商奇点的两个双有理极小模型具有相同的轨道簇上同调与霍奇结构，这是通过动机测度的不变性所证明的。
• 当 $\mathscr{X}$ 光滑时，惯性叠 $I(\mathscr{X})$ 也是光滑的，并且存在 $I(\mathscr{X})$ 与纤维积 $\mathscr{Y} \times_{\mathscr{X}} I(\mathscr{X})$ 之间的典范等价，确保了轨道簇上同调构造的一致性。
• 具有商奇点的代数簇 $X$ 的轨道簇上同调同构于其粗模空间为 $X$ 的光滑德利涅-芒福德叠 $\mathscr{X}$ 的惯性叠 $I(\mathscr{X})$ 的上同调。