[论文解读] Two congruences involving harmonic numbers with applications

Guo-Shuai Mao, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在模素数 $ p > 3 $ 的意义下，建立了两个涉及调和数与中心二项式系数的新同余式，将其与在 $ 1/3 $ 处取值的伯努利多项式联系起来。通过组合恒等式及 $ p $-进展开的性质，作者推导出 $ \frac{1}{p^2}\bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ 与 $ \frac{1}{p^2}\bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ 模 $ p $ 的显式公式，其中 $ g_k $ 与 $ h_k $ 分别为二项式系数与卡塔兰数乘积的和。

ABSTRACT

The harmonic numbers $H_n=\sum_{03$ be a prime. With helps of some combinatorial identities, we establish the following two new congruences: $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_k\equiv\frac13\left(\frac p3 ight)B_{p-2}\left(\frac13 ight)\pmod{p}$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_{2k}\equiv\frac7{12}\left(\frac p3 ight)B_{p-2}\left(\frac13 ight)\pmod{p},$$ where $B_n(x)$ denotes the Bernoulli polynomial of degree $n$. As an application, we determine $\sum_{n=1}^{p-1}g_n$ and $\sum_{n=1}^{p-1}h_n$ modulo $p^3$, where $$g_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\quad\mbox{and}\quad h_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2C_k$$ with $C_k=\binom{2k}k/(k+1)$.

研究动机与目标

• 建立两个涉及调和数 $ H_k $ 与 $ H_{2k} $ 且加权 $ \binom{2k}{k}/k $ 的新同余式，模 $ p $，其中 $ p > 3 $ 为素数。
• 将这些和与伯努利多项式 $ B_{p-2}(1/3) $ 联系起来，揭示其非平凡的算术结构。
• 应用这些同余式计算 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ 与 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ 模 $ p^3 $，其中 $ g_k $ 与 $ h_k $ 为与阿佩里型数相关的组合序列。
• 为涉及调和数与中心二项式系数的和的 $ p $-进行为提供更深层次的猜想的证据。
• 通过新颖的组合恒等式，将已知的沃尔斯滕霍尔姆型同余式推广至更高阶项。

提出的方法

• 利用涉及 $ \binom{2k}{k} $、$ H_k $ 与 $ H_{2k} $ 的组合恒等式推导同余式，特别利用二项式系数的 $ p $-进展开。
• 应用恒等式 $ (-1)^k \binom{p-1}{k} \not\to 1 - p H_k \bmod p^2 $，将 $ k $ 上的求和与调和数求和联系起来。
• 以 $ \bigsum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k} \bmod p^2 $ 与 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} \bmod p^3 $ 的已知同余式作为基础工具。
• 将 $ g_k $ 与 $ h_k $ 表示为包含 $ \binom{n}{k}^2 $、$ \binom{2k}{k} $ 与卡塔兰数 $ C_k $ 的双重和，然后交换求和顺序以分离出依赖于 $ k $ 的项。
• 利用积分表示 $ h_n = \bigint_0^1 g_n(x)\thinspace dx $，其中 $ g_n(x) = \bigsum_{j=0}^n \binom{n}{j}^2 \binom{2j}{j} x^j $，将 $ h_k $ 与 $ g_k $ 相关的生成函数联系起来。
• 使用恒等式 $ \bigsum_{k=0}^{p-1} g_k(x)(1 - p^2 H_k^{(2)}) \bmod p^4 $ 推导 $ \bigsum h_k $ 与 $ \bigsum g_k $ 的 $ p $-进展开，结合已知的 $ p $-进 zeta 值与伯努利数结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于素数 $ p > 3 $，$ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_k \bmod p $ 的 $ p $-进行为何？
• RQ2 和 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_{2k} \bmod p $ 如何用伯努利多项式的特殊值表示？
• RQ3 能否利用调和数恒等式，对组合序列 $ g_k = \bigsum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2 \binom{2j}{j} $ 与 $ h_k = \bigsum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2 C_j $ 的和 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ 与 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ 模 $ p^3 $ 进行求值？
• RQ4 和 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} (4H_{2k} - 7H_k) $ 与高阶伯努利数或欧拉数之间有何联系？
• RQ5 生成函数 $ g_n(x) $ 及其积分如何与 $ h_n $ 的 $ p $-进结构相关联？能否利用此关系推导模 $ p^3 $ 的同余式？

主要发现

• 本文证明了 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_k \bmod p $ 同余于 $ \frac{1}{3} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $，其中 $ B_{p-2}(x) $ 为伯努利多项式。
• 本文确立了 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_{2k} \bmod p $ 等于 $ \frac{7}{12} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $，表明其与同一伯努利多项式特殊值之间存在精确的算术联系。
• 由这些同余式，作者推导出 $ \frac{1}{p^2} \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k \bmod p $ 同余于 $ \frac{5}{8} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $，为 $ g_k $ 的归一化和提供了 $ p $-进公式。
• 本文表明 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k \bmod p^3 $ 同余于 $ \frac{3}{4} p^2 \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $，将先前模 $ p^2 $ 的结果推广至更高精度。
• 本文确认 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} (2g_k - h_k) \bmod p^3 $ 同余于 $ \frac{1}{2} p^2 \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $，支持了所推导公式的自洽性。
• 作者验证了 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k (1 - p^2 H_k^{(2)}) \bmod p^3 $ 同余于 0，这支持了 $ h_k $-和在 $ p $-进分析中猜想结构的合理性。