[论文解读] Two dimensional neighborhoods of elliptic curves: formal classification and foliations

Frank Loray, Olivier Thom+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过一族切于椭圆曲线 $C$ 的形式叶状结构，对具有挠率法丛的二维局部邻域进行了形式分类。关键结果是此类邻域完全由一对形式叶状结构的单值性决定，且对每个形式模型，其解析等价类的模空间为无穷维。

ABSTRACT

We classify two dimensional neighborhoods of an elliptic curve C with torsion normal bundle, up to formal equivalence. The proof makes use of the existence of a pair (indeed a pencil) of formal foliations having C as a common leaf, and the fact that neighborhoods are completely determined by the holonomy of such a pair. We also discussanalytic equivalence and show, for each formal model, that the corresponding moduli space is infinite dimensional.

研究动机与目标

• 对具有挠率法丛的椭圆曲线 $C$ 的二维邻域进行形式等价分类。
• 理解叶状结构在决定此类邻域结构中的作用。
• 分析解析分类，并证明相应的模空间为无穷维。
• 扩展已知的挠率情形线性化结果，尤其与非挠率情形中由丢番图条件控制解析线性化的现象形成对比。
• 研究单值表示、微分同胚芽与邻域几何之间的相互作用，通过双叶状结构实现。

提出的方法

• 使用一族切于 $C$ 的形式叶状结构 $\hat{\mathcal{F}}_t$，且 $C$ 为它们的公共叶。
• 利用邻域完全由这样一对叶状结构的单值性决定的事实。
• 应用一维动力系统（Yoccoz, Pérez-Marco）的结果，分析单值表示 $\pi_1(C) \to \mathrm{Diff}(\mathbb{C},0)$。
• 构造由不变量 $\lambda$ 和 $\Lambda$ 参数化的形式模型 $U_{\lambda,\Lambda}$，其中 $k = \mathrm{utype}(U,C)$ 控制相切阶数。
• 通过次数为 $k+1$ 的多项式微分同胚 $\phi \in \mathrm{Diff}(\mathbb{C},0)$ 的共轭，使单值性在阶数 $k$ 内匹配。
• 分析 $\mathrm{Aut}(C)$ 对正规形式的作用，特别是当 $q = 2,3,4,6$ 时，描述由对称性诱导的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对具有挠率法丛的椭圆曲线的二维邻域进行形式分类？
• RQ2 一族形式叶状结构在决定此类邻域结构中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，形式邻域与它的线性模型解析等价？
• RQ4 此类邻域的解析等价类的模空间具有何种结构？
• RQ5 椭圆曲线基本群的单值表示如何与邻域的分类和形变相关？

主要发现

• 具有挠率法丛的邻域的形式分类完全由一对以 $C$ 为公共叶的形式叶状结构的单值性决定。
• 对每个形式模型，其解析等价类的模空间为无穷维，这是通过 Yoccoz 方法实现任意单值表示而证明的。
• 当法丛为挠率且两叶状结构 $\mathcal{F}_{t_1}, \mathcal{F}_{t_2}$ 均为收敛时，模空间可通过单值表示的独立形变显式描述。
• $\mathrm{Aut}(C)$ 在形式模型上的作用诱导出正规形式之间的微分同胚，显式共轭映射为 $ (x,y) \mapsto (-x, \xi y) $，$ \xi^k = -1 $，且保持 Ueda 型不变。
• 在 $q = 3,4,6$ 的特殊情形下，共轭映射更复杂，但双叶状方法仍允许描述等价的正规形式。
• 本文建立了形式等价下的完全分类，给出了显式正规形式 $U(a_1,a_\tau,\lambda,\Lambda)$，其由单值数据和形式不变量 $\lambda, \Lambda$ 参数化。