[论文解读] Two Essays on the Archimedean versus Non-Archimedean Debate

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Sep 25, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文主张时空可能是非阿基米德的，挑战了几何学与物理学中长期存在的阿基米德公设。通过使用约化幂代数（RPA），证明了非阿基米德结构——其中存在无穷大与无穷小量——可提供更丰富、更灵活的数学框架，无需人为修正即可解决物理学中的无穷大问题。

ABSTRACT

Part 1 : For more than two millennia, ever since Euclid's geometry, the so called Archimedean Axiom has been accepted without sufficiently explicit awareness of that fact. The effect has been a severe restriction of our views of space-time, a restriction which above all affects Physics. Here it is argued that, ever since the invention of Calculus by Newton, we may actually have {\it empirical evidence} that time, and thus space as well, are not Archimedean. Part 2 : There is an insufficient awareness about the {\it rich and complex} structure of various totally ordered scalar fields obtained through the {\it ultrapower} construction. This rich and complex structure comes from the presence of {\it infinitesimals} in such fields, presence which leads to the fact that such fields are {\it non-Archimedean}. Here, with the concept of {\it walkable world}, which has highly intuitive and pragmatic geometric meaning, the mentioned rich and complex structure is illustrated. The issues presented have relevance for what are usually called the "infinities in physics".

研究动机与目标

• 挑战空间-时间模型中对阿基米德公设的隐含接受，该公设已使物理与数学直觉受限长达两千多年。
• 论证微积分，尤其是其历史上对无穷小量的使用，为在物理理论中考虑非阿基米德结构提供了经验依据。
• 证明约化幂代数（RPA）为构建时空的非阿基米德模型提供了一种比非标准分析更简单、更直观的替代方案。
• 表明通过PAG（纯绝对几何）拒绝阿基米德公设，可使时空摆脱人为限制，从而实现更丰富、更自然的几何与物理结构。
• 通过将无穷大作为非阿基米德域中的常规元素嵌入，解决物理中“无穷大问题”这一长期困扰。

提出的方法

• 通过滤子与理想构造实数的超幂，构建非阿基米德域，为RPA（约化幂代数）奠定基础。
• 将“可行走世界”$WW(t,u)$定义为从$t$出发，通过有限次大小为$u>0$的步长可达的点的集合，用于建模非阿基米德结构中的离散可达性。
• 利用序同构证明所有$WW(t,u)$在结构上等价，但每个都是完整域$\mathbb{F}_{\cal U}$的无穷小部分，这与$\mathbb{R}$中的情况不同。
• 分析可行走世界的相对结构，区分相等、不相交与无限嵌套三种情形，揭示了阿基米德系统中所不存在的复杂层级结构。
• 将阿基米德实直线$\mathbb{R}$（其中$WW(0,1) = \mathbb{R}$）与非阿基米德域（其中$WW(t,u) \ll \mathbb{F}_{\cal U}$）进行对比，说明阿基米德公设所施加的结构性限制。
• 证明在非阿基米德域中，“无穷大”是正规元素——代数上行为良好——从而无需在物理学中采用人为的正则化方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 微积分中历史性的无穷小量使用能否被解释为时空具有非阿基米德结构的经验证据？
• RQ2 在几何与物理理论中拒绝阿基米德公设会产生何种结构性后果？
• RQ3 在非阿基米德域中，可行走世界$WW(t,u)$的行为如何？与实直线$\mathbb{R}$中的行为有何不同？
• RQ4 约化幂代数（RPA）能否为建模非阿基米德时空提供比非标准分析更简单、更直观的替代方案？
• RQ5 非阿基米德框架如何解决标准场论中长期存在的“物理中的无穷大”问题？

主要发现

• 阿基米德公设将时空限制为单一可行走世界$WW(0,1) = \mathbb{R}$，而非阿基米德域（如$\mathbb{F}_{\cal U}$）则包含无穷多个可行走世界，每个都是整体的无穷小部分。
• 在非阿基米德域中，对所有$t,u \in \mathbb{F}_{\cal U}, u>0$，有$WW(t,u)$是$\mathbb{F}_{\cal U}$的无穷小子集，而$\mathbb{R}$中则有$WW(0,1) = \mathbb{R}$。
• 非阿基米德域中的可行走世界可无限嵌套，一个世界可为另一个世界的无穷小部分，这种结构在阿基米德系统中不可能实现。
• 通过商环与滤子构造RPA，为非阿基米德结构提供了比非标准分析更简单、更直接的路径，且无需依赖传递原理。
• 在非阿基米德框架中，物理中的无穷大与无穷小量并非问题——它们是正规元素，可进行完整的代数运算而无限制。
• 通过PAG（纯绝对几何）拒绝阿基米德公设，可使时空的数学与物理描述摆脱人为约束，从而实现更丰富、更自然的模型。