[论文解读] Two Forms of Proximal Physical Geometry. Axioms, Sewing Regions Together, Classes of Regions, Duality, and Parallel Fibre Bundles

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 15

一句话总结

本文介紹了兩種近似物理幾何形式——強近似與描述性近似，其中區域而非點是基本元素。它使用 Rⁿ 中的特徵向量描述區域，應用近似關係（包括描述性近似與強近似），並建立區域為基礎的幾何公理體系。主要貢獻包括區域為基礎的博蘇克-烏拉姆定理，以及針對弦與世界膜的布線朋友定理，將幾何結構與特徵空間中的不動點聯繫起來。

ABSTRACT

This paper introduces two proximal forms of Lenzen physical geometry, namely, an \emph{axiomatized strongly proximal physical geometry} that is built on simplicial complexes with the dualities and sewing operations derived from string geometry and an \emph{axiomatized descriptive proximal physical geometry} in which spatial regions are described based on their features and the descriptive proximities between regions. This is a computational proximity approach to a Lenzen geometry of physical space. In both forms of physical geometry, region is a primitive. Intuitively, a region is a set of connected subregions. The primitive in this geometry is \emph{region}, instead of \emph{point}. Each description of a region with $n$ features is a mapping from the region to a feature vector in $\mathbb{R}^n$. In the feature space, proximal physical geometry has the look and feel of either Euclidean, Riemannian, or non-Euclidean geometry, since we freely work with the relations between points in the feature space. The focus in these new forms of geometry is the relation between individual regions with their own distinctive features such as shape, area, perimeter and diameter and the relation between nonempty sets of regions. The axioms for physical geometry as well as the axioms for proximal physical geometry are given and illustrated. Results for parallel classes of regions, descriptive fibre bundles and BreMiller-Sloyer sheaves are given. In addition, a region-based Borsuk-Ulam Theorem as well as a Wired Friend Theorem are given in the context of both forms of physical geometry.

研究动机与目标

• 發展一種以區域為基本實體而非點的區域為基礎的物理幾何。
• 形式化兩種近似物理幾何形式：基於單純複形與強重疊的強近似，以及基於特徵描述與描述性近似的描述性近似。
• 為兩種形式建立公理體系，整合縫合運算、對偶性與纖維叢結構。
• 在區域為基礎的幾何框架內引入並證明新定理——博蘇克-烏拉姆定理與布線朋友定理。
• 透過特徵向量映射與如弦與世界膜等拓撲結構，統合計算近似與物理幾何。

提出的方法

• 將區域定義為基本實體，其 n 個特徵描述透過特徵向量 Φ 映射至 Rⁿ。
• 在強近似幾何中，使用強近似 δ̂ 來模擬區域之間的重疊（具有共同邊界且交集非空）。
• 引入基於共享特徵向量的描述性近似 δΦ，以實現基於描述的區域關係。
• 從 k-單純形（頂點、邊、三角形、四面體）構造單純複形，並應用凸包以定義有界區域。
• 將弦建模為具有非零寬度的空間路徑，將世界膜建模為被弦完全覆蓋的區域，使用覆蓋與包含公理。
• 應用纖維叢與層構造（如布雷默-斯洛耶爾層）來模擬具有共享特徵的區域集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何能以區域為基本單位而非點來重構物理幾何？
• RQ2 哪套公理體系能支持基於單純複形與對偶性的強近似物理幾何？
• RQ3 如何利用 Rⁿ 中的特徵向量形式化描述性近似，以描述空間區域？
• RQ4 '布線朋友'（具有固定特徵描述的嵌入區域中的弦或世界膜）的幾何與拓撲意義為何？
• RQ5 在此框架中，能否建立經典定理（如博蘇克-烏拉姆定理）的區域為基礎類比？

主要发现

• 建立了區域為基礎的博蘇克-烏拉姆定理，表明對於任何定義在區域上的連續函數，均存在一對對蹠區域，其特徵描述完全相同。
• 弦布線朋友定理證明：每條具有 k 個特徵的弦會映射至特徵空間中的一個不動點，該點位於半徑 r > 0 的球 Br,k 內。
• 世界膜布線朋友定理將此結果推廣至世界膜，表明具有 k 個特徵的世界膜會映射至特徵空間中的一個固定描述 g(wshA)，且該描述位於 Rᵏ 中的球 Br,k ⊂ Rᵏ 內。
• 由反橢圓模數 m(q) 定義的一類螺旋區域構成描述性近似類 R_reA，其中區域具有相似的曲率與特徵剖面。
• 顯示洞可透過其內部描述，經特徵映射 Φ 映射至 Rⁿ，從而確認即使拓撲空洞亦可被描述。
• 具有相同邊緣顏色（例如綠色）的封閉同心區域彼此描述性接近，如 reA δΦ reE 所示，當兩者具有匹配的 RGB 緣特徵時。