[论文解读] Unbalanced penalization: A new approach to encode inequality constraints of combinatorial problems for quantum optimization algorithms

Alejandro Montanez-Barrera, Dennis Willsch+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新型的非平衡惩罚方法，用于在无需引入松弛变量的情况下，将不等式约束编码至组合优化问题的量子算法中。通过在违反约束时施加更大的惩罚，该方法显著减少了量子比特需求，并在 D-Wave Advantage 和混合求解器上显著提升了解决方案质量和成功概率，相较于传统的松弛变量方法，使可解决的问题实例规模扩大至 31 个物品（而松弛变量方法仅能处理 11 个）。

ABSTRACT

Solving combinatorial optimization problems of the kind that can be codified by quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) is a promising application of quantum computation. Some problems of this class suitable for practical applications such as the traveling salesman problem (TSP), the bin packing problem (BPP), or the knapsack problem (KP) have inequality constraints that require a particular cost function encoding. The common approach is the use of slack variables to represent the inequality constraints in the cost function. However, the use of slack variables considerably increases the number of qubits and operations required to solve these problems using quantum devices. In this work, we present an alternative method that does not require extra slack variables and consists of using an unbalanced penalization function to represent the inequality constraints in the QUBO. This function is characterized by larger penalization when the inequality constraint is not achieved than when it is. We evaluate our approach on the TSP, BPP, and KP, successfully encoding the optimal solution of the original optimization problem near the ground state cost Hamiltonian. Additionally, we employ D-Wave Advantage and D-Wave hybrid solvers to solve the BPP, surpassing the performance of the slack variables approach by achieving solutions for up to 29 items, whereas the slack variables approach only handles up to 11 items. This new approach can be used to solve combinatorial problems with inequality constraints with a reduced number of resources compared to the slack variables approach using quantum annealing or variational quantum algorithms.

研究动机与目标

• 解决传统松弛变量在编码不等式约束时带来的高资源开销问题，以提升量子优化效率。
• 减少在 NISQ 设备上求解具有不等式约束的组合优化问题时对量子比特和连通性的需求。
• 开发一种可推广的、基于启发式的 QUBO 编码方法，确保在代价哈密顿量基态中保持最优解的保真度。
• 在量子退火器和变分量子算法上，与标准松弛变量方法相比，展示出在解决方案质量与成功概率方面的性能提升。
• 通过最小化约束编码导致的量子比特扩展，使当前量子硬件能够求解更大规模的问题实例。

提出的方法

• 用一种非平衡惩罚函数替代传统的松弛变量，该函数在违反不等式约束时施加更大的惩罚，而在满足约束时惩罚较小或为零。
• 使用参数 λ₀、λ₁、λ₂ 调整的惩罚函数构建 QUBO 代价函数，以优先保证约束满足，同时保持最优解位于代价哈密顿量的基态。
• 采用非对称惩罚结构：对约束违反（如总和 > 容量）施加较大惩罚，对约束满足则施加较小或零惩罚。
• 使用该惩罚方案对 TSP、BPP 和 KP 问题进行编码，避免为约束引入额外的二进制变量。
• 在 OpenQAOA 上使用 1 层 QAOA 和在 D-Wave Advantage 及 D-Wave 混合求解器上进行量子退火，验证该方法的有效性。
• 利用 Jülich 通用量子计算机模拟器（JUQCS）对最多 43 个量子比特的问题进行模拟，测试该方法在接近经典模拟极限时的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平衡惩罚方法能否在不引入松弛变量的情况下，将不等式约束编码至 QUBO 公式中？
• RQ2 与松弛变量方法相比，非平衡惩罚方法是否能在量子退火器和变分算法上提高找到最优解的概率？
• RQ3 在当前量子硬件上，非平衡惩罚方法相较于松弛变量方法在多大程度上能够支持更大规模的问题实例？
• RQ4 在不同组合优化问题（TSP、BPP、KP）中，非平衡惩罚方法与松弛变量方法在成功概率和解决方案质量方面有何差异？
• RQ5 CoP（性能概率）指标是否能揭示在问题规模增大时，非平衡惩罚方法在 QAOA 中的系统性优势？

主要发现

• 非平衡惩罚方法成功地将原始优化问题的最优解编码至代价哈密顿量的基态能量附近，适用于 TSP、BPP 和 KP 问题。
• 在 D-Wave 混合求解器上，该方法可求解最多 31 个物品的装箱问题，而松弛变量方法仅能处理 11 个物品。
• 对于 4 个城市 TSP 问题，使用 QAOA（p=1）时，非平衡惩罚方法找到最优解的概率比松弛变量方法高出 10 倍以上。
• 对于 3 个物品的 BPP 问题，非平衡惩罚方法的成功概率比松弛变量方法高出逾 10,000 倍。
• 对于 10 个物品的 KP 问题，非平衡惩罚方法的成功概率约为松弛变量方法的 346 倍。
• CoP 指标显示，TSP 和 BPP 问题的性能概率随问题规模呈指数增长，KP 问题则呈线性增长，表明随着问题规模增大，QAOA 与非平衡惩罚方法结合可能具有潜在的隐性优势。