[论文解读] Unbiased deep solvers for parametric PDEs

Marc Sabaté Vidales, David Šiška+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 46被引用 17

一句话总结

本文提出了一种用于参数化PDE的无偏深度学习求解器，可同时近似解及其梯度，结合蒙特卡洛积分与鞅表示定理，实现无偏的衍生品定价。该方法对网络质量不敏感，在高维问题（高达100维）中表现有效，作为黑箱解决方案，仅需极少先验假设。

ABSTRACT

We develop several deep learning algorithms for approximating families of parametric PDE solutions. The proposed algorithms approximate solutions together with their gradients, which in the context of mathematical finance means that the derivative prices and hedging strategies are computed simulatenously. Having approximated the gradient of the solution one can combine it with a Monte-Carlo simulation to remove the bias in the deep network approximation of the PDE solution (derivative price). This is achieved by leveraging the Martingale Representation Theorem and combining the Monte Carlo simulation with the neural network. The resulting algorithm is robust with respect to quality of the neural network approximation and consequently can be used as a black-box in case only limited a priori information about the underlying problem is available. We believe this is important as neural network based algorithms often require fair amount of tuning to produce satisfactory results. The methods are empirically shown to work for high-dimensional problems (e.g. 100 dimensions). We provide diagnostics that shed light on appropriate network architectures.

研究动机与目标

• 开发能够以高精度和鲁棒性近似参数化PDE解族的深度学习算法。
• 同时计算解值及其梯度，实现在数学金融中直接计算衍生品价格与对冲策略。
• 利用蒙特卡洛模拟与鞅表示定理，消除神经网络对PDE解近似中的偏差。
• 构建一个黑箱求解器，即使在先验知识有限或网络架构欠佳的情况下也能可靠运行。
• 评估并提供适用于高维PDE问题的神经网络架构的诊断工具。

提出的方法

• 该方法使用深度神经网络近似参数化PDE的解及其梯度，尤其适用于高维场景。
• 利用网络提供的梯度信息构建控制变量子，以减少解估计中的偏差。
• 应用鞅表示定理，确保校正项为真正的鞅，从而实现对PDE解的无偏估计。
• 该算法将神经网络近似与蒙特卡洛采样相结合，即使网络训练不佳，也能生成解的无偏估计器。
• 该方法设计具有鲁棒性，仅需极少超参数调优，可作为即插即用组件集成到现有深度学习流程中。
• 引入诊断工具，以指导特定PDE问题中合适网络架构的选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用深度神经网络以同时近似参数化PDE的解与梯度的方式，实现解估计的无偏性？
• RQ2 如何将鞅表示定理与深度学习结合，以校正PDE解近似中的偏差？
• RQ3 当神经网络近似不准确或调优不佳时，该方法在多大程度上仍保持鲁棒性？
• RQ4 对于高维参数化PDE，哪些网络架构最为有效，如何对其进行诊断？
• RQ5 该方法在实际应用中能否作为黑箱求解器使用，且对底层问题的先验知识要求极低？

主要发现

• 通过结合神经网络近似、蒙特卡洛模拟与鞅表示定理，所提方法实现了对PDE解的无偏估计。
• 即使神经网络近似欠佳，该算法仍保持鲁棒性，显著降低了对大规模超参数调优的需求。
• 实证验证表明，该方法在高维问题中表现有效，包括高达100个空间维的问题。
• 对解与梯度的同时近似，使得在金融应用中可直接计算衍生品价格与对冲策略。
• 开发了诊断工具，为特定参数化PDE选择合适神经网络架构提供了可操作的洞察。
• 该方法作为可靠的黑箱求解器，适用于先验信息有限的实际场景部署。