[论文解读] Unified formulation and analysis of mixed and primal discontinuous skeletal methods on polytopal meshes

Daniele Boffi, Daniele A. Di Pietro|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering参考文献 54被引用 22

一句话总结

本文提出了一种在多胞形网格上统一混合与原生不连续骨架方法的公式，通过全局耦合的不连续骨架自由度统一了多种高阶方法。关键贡献在于在适当条件下建立了混合方法与原生方法之间的等价性，并通过统一分析在能量范数和$L^2$范数下实现了最优收敛率。

ABSTRACT

We propose in this work a unified formulation of mixed and primal discretization methods on polyhedral meshes hinging on globally coupled degrees of freedom that are discontinuous polynomials on the mesh skeleton. To emphasize this feature, these methods are referred to here as discontinuous skeletal. As a starting point, we define two families of discretizations corresponding, respectively, to mixed and primal formulations of discontinuous skeletal methods. Each family is uniquely identified by prescribing three polynomial degrees defining the degrees of freedom and a stabilization bilinear form which has to satisfy two properties of simple verification: stability and polynomial consistency. Several examples of methods available in the recent literature are shown to belong to either one of those families. We then prove new equivalence results that build a bridge between the two families of methods. Precisely, we show that for any mixed method there exists a corresponding equivalent primal method, and the converse is true provided that the gradients are approximated in suitable spaces. A unified convergence analysis is also carried out delivering optimal error estimates in both energy- and $L^2$-norms.

研究动机与目标

• 通过统一框架统一混合与原生不连续骨架方法在多胞形网格上的表述。
• 识别混合方法与原生方法等价的条件，特别是关于梯度逼近的条件。
• 提供统一的收敛性分析，以在能量范数和$L^2$范数下获得最优误差估计。
• 证明众多现有方法，包括混合高阶方法、虚拟元方法和仿射有限差分格式，均可纳入所提出的框架中。

提出的方法

• 该方法基于三个多项式次数定义了两类离散化方案——混合与原生——分别用于单元和骨架自由度。
• 引入一种稳定化双线性形式，其有效性仅需满足稳定性（范数等价性均匀性）和多项式一致性。
• 该框架使用在面上单值但在顶点/边上不连续的不连续骨架自由度，从而实现全局耦合。
• 证明了混合方法与原生方法之间的等价性：每个混合方法均存在一个对应的等价原生方法，反之亦然，前提是梯度在合适的有限维空间中进行逼近。
• 通过能量与$L^2$误差估计，采用统一的收敛性分析，利用椭圆正则性及投影算子的逼近性质。
• 该分析依赖于关键工具：断裂椭圆投影、$L^2$-投影算子，以及通过Tonti图和离散微分算子实现的离散分部积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合与原生不连续骨架方法能否在多胞形网格上通过单一公式统一？
• RQ2 在何种条件下混合方法与原生方法等价，反之亦然？
• RQ3 统一公式的能量范数与$L^2$范数下的最优收敛率是多少？
• RQ4 现有方法如混合高阶方法、虚拟元方法和仿射有限差分格式如何融入此统一框架？
• RQ5 稳定化双线性形式需满足何种最小假设以保证稳定性与收敛性？

主要发现

• 本文证明，对于任意混合不连续骨架方法，均存在一个对应的等价原生方法，反之亦然，前提是梯度在合适的有限维空间中进行逼近。
• 在适当的正则性假设下，原生格式在能量范数下的最优收敛率为$h^{k+2}$，混合格式在$L^2$范数下的最优收敛率亦为$h^{k+2}$。
• 统一分析为能量范数与$L^2$范数均提供了最优误差估计，收敛率取决于多项式次数$k$及解的正则性。
• 稳定化双线性形式仅需满足两个简单条件：稳定性（均匀范数等价性）与多项式一致性，使得新方案的验证变得简便。
• 该框架涵盖了广泛的现有方法，包括在单纯形网格上的Raviart–Thomas与Crouzeix–Raviart元，并将它们的等价性推广至多胞形网格。
• 分析确认，当能量范数中采用$k \times k$多项式度数、$L^2$范数中采用$k+1$度数时，方法实现了最优收敛性，误差界按$h^{k+2}$缩放。