[论文解读] Uniform stabilization for linear systems with persistency of excitation. The neutrally stable and the double integrator cases

Antoine Chaillet, Yacine Chitour+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2007

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了具有持续激励（PE）控制信号的线性系统的统一稳定性，证明当 $ A $ 为中性稳定或系统为双积分器时，固定的线性时不变状态反馈 $ K $ 可实现全局渐近稳定。关键结果是：此类稳定增益 $ K $ 存在，且仅依赖于 $ (A,B) $、$ \mu $ 和 $ T $，即使控制信号 $ \alpha(t) $ 在某些区间内为零，只要满足 PE 条件即可。

ABSTRACT

Consider the controlled system $dx/dt = Ax + α(t)Bu$ where the pair $(A,B)$ is stabilizable and $α(t)$ takes values in $[0,1]$ and is persistently exciting, i.e., there exist two positive constants $μ,T$ such that, for every $t\geq 0$, $\int_t^{t+T}α(s)ds\geq μ$. In particular, when $α(t)$ becomes zero the system dynamics switches to an uncontrollable system. In this paper, we address the following question: is it possible to find a linear time-invariant state-feedback $u=Kx$, with $K$ only depending on $(A,B)$ and possibly on $μ,T$, which globally asymptotically stabilizes the system? We give a positive answer to this question for two cases: when $A$ is neutrally stable and when the system is the double integrator.

研究动机与目标

• 确定在控制信号 $ \alpha(t) $ 持续激励但可能在某些区间为零时，固定的线性时不变（LTI）状态反馈 $ K $ 是否能够稳定线性系统。
• 解决控制输入 $ \alpha(t)Bu $ 在某些时间段内失效、导致系统在某些时刻不可控时的稳定性问题。
• 仅基于系统矩阵 $ (A,B) $ 和 PE 参数 $ \mu, T $，提供一种构造性稳定化解决方案，无需了解 $ \alpha(t) $ 的确切切换时间。
• 通过证明在 PE 条件下存在一个通用稳定增益 $ K $，将平均化稳定性的概念扩展至非标量、不可平均化的系统。

提出的方法

• 作者分析系统 $ \dot{x} = Ax + \alpha(t)Bu $，其中 $ \alpha(t) \in [0,1] $ 为满足对所有 $ t \geq 0 $ 有 $ \int_t^{t+T} \alpha(s)ds \geq \mu $ 的 PE 信号，且 $ \mu, T > 0 $。
• 对于中性稳定情形，他们基于李雅普诺夫方法并利用系统动力学的结构，证明了固定的 $ K $ 可在所有此类 $ \alpha(t) $ 下实现系统的统一稳定。
• 对于双积分器情形，他们利用 $ A $ 的幂零结构，并通过变换至布伦诺夫标准型，将问题简化为类标量系统。
• 他们应用 $ L^\infty $ 空间中的弱-$ \star $ 收敛性论证，并使用 Gronwall 不等式，证明了解关于 $ \alpha $ 的连续性，从而确保在 PE 信号扰动下稳定性得以保持。
• 对于 $ B $ 满秩的情形，通过坐标变换将系统简化为 $ \dot{x} = Ax + \alpha u $，其中 $ u = -kx $，并证明变换后的系统满足 $ \dot{y} = -k\alpha y $，从而实现指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制信号 $ \alpha(t) $ 持续激励但可能在某些区间内为零时，固定的线性时不变状态反馈 $ K $ 是否能够稳定线性系统？
• RQ2 是否可能在不依赖 $ \alpha(t) $ 切换模式的实时信息下实现全局渐近稳定，仅利用 $ (A,B) $、$ \mu $ 和 $ T $？
• RQ3 持续激励条件是否足以确保通过单一固定 $ K $ 实现稳定，即使系统在轨迹的某些部分变得不可控？
• RQ4 标量系统中的平均化直觉能否推广至多维系统，尤其是具有不可平均化动力学的系统（如双积分器）？
• RQ5 在什么 $ A $ 和 $ B $ 条件下，可在 PE 控制信号下实现通用稳定增益 $ K $？

主要发现

• 对于中性稳定的 $ A $，存在一个固定的 $ K $，使得闭环系统对所有 $ \alpha(t) \in \mathcal{G}(T,\mu) $ 均为全局渐近稳定，且不受信号切换行为的影响。
• 对于双积分器系统，存在一个固定的 $ K $，可在任意 PE 信号 $ \alpha(t) $ 下实现系统的统一稳定，即使 $ \alpha(t) $ 在某些区间内为零。
• 当 $ \mathrm{rank}(B) = 2 $ 时，系统 $ \dot{x} = Ax + \alpha Bu $ 可被一个固定的 $ K $ 实现统一稳定，其证明依赖于通过坐标变换将系统简化为类标量系统。
• 稳定增益 $ K $ 仅依赖于 $ (A,B) $、$ \mu $ 和 $ T $，而不依赖于 $ \alpha(t) $ 的具体形式，因此对信号不规则性具有鲁棒性。
• 证明建立了在 $ \alpha $ 的弱-$ \star $ 收敛下解的统一收敛性，确保在 PE 信号扰动下稳定性得以保持。
• 本文表明，标量系统中的直观平均化方法无法直接推广至高维系统，但固定 $ K $ 仍可在 PE 条件下确保系统稳定。